Anmerkung: Manche Bilder wurden automatisch gedreht.

Für die Kreisfrequenz gilt allgemein $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Also ist die Periodendauer $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Nun ist $\omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$, weshalb wir für die Periodendauer folgendes erhalten: $$\begin{align*} T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{I}{D_R}}. \end{align*}$$ Das rücktreibene Drehmoment ergibt sich aus $D_R = \frac{\pi}{2}\frac{G\cdot r^4}{L}$, wobei G das Torsionsmodul des Materials ist, r der Radius des Drahtes und L die Länge des Drahtes. Wir wollen mittels einer kleinen Rechnung den Einfluss von dem Radius betrachten, da dieser mit der vierten Potenz eingeht. Hierzu wählen wir $L = 1\mathrm{m}$, $G = 100\mathrm{GPa}$ und für die Radien einmal $r_1 = 0,001\mathrm{m}$ und einmal $r_2 = 0,005\mathrm{m}$. Dann ergibt sich für das rücktreibene Drehmoment einmal $D_{R,r_1} = \frac{\pi}{2}\cdot 10^{-1} \mathrm{Nm}$ und einmal $D_{R,r_2} = \frac{\pi}{2}\cdot 62,5 \mathrm{Nm}$. Man kann also bei einem kleinen Unterschied im Radius einen ernormen Effekt beobachten.

Um zu überprüfen, welche Anfangswerte auf die Lösung $\varphi(t)=\varphi_0\cos{\omega t}; \omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$ führen, betrachten wir zu erst die DGL $I\ddot{\varphi} = - D_R\varphi$. Dabei handelt es sich um eine homogene gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) der 2. Ordnung, die uns an die des harmonischen Oszillators bzw. an die DGL des Federpendels erinnert. Daher wissen wir, dass die Lösung dieser DGL allgemein von der Form $\varphi(t) = A\cos{\omega t}+B\sin{\omega t}$ und $\omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$ sein muss. Wir wollen uns nun die Anfangswerte überlegen. Zum Startpunkt $t = 0$ hat das Drehpendel eine Startauslenkung $\varphi_0$. Daher sollte einer der Anfangswerte $\varphi(0) = \varphi_0$ sein. Weiterhin hat das Pendel bei dem Zeitpunkt $t=0$ keine Geschwindigkeit. Daher sollte für die zweite Anfangsbedingung gelten $\dot{\varphi}(0)=0$. Dies wollen wir nun überprüfen, indem wir die Anfangswerte einsetzen. Dazu benötigen wir erst die erste zeitliche Ableitung von $\varphi(t)$. Sie lautet: $\dot{\varphi}(t)= - A\omega\sin{\omega t} + B\omega \cos{\omega t}$. Damit ergibt sich: $$\begin{align*} \varphi(0) = A \cos{(0)} + B \sin {(0)} = A \overset{!}{=} \varphi_0 \Rightarrow A = \varphi_0 \\ \dot{\varphi}(0) = - A \omega \sin{(0)} + B \omega \cos{(0)} = B \omega \overset{!}{=} 0 \Rightarrow B = 0 \end{align*}$$ Damit ergibt erhalten wir $\varphi(t) = \varphi_0 \cos{\omega t}$, was genau die Lösung (3) der DGL ist. Das heißt es führen die Anfangswerte $\varphi(0) = \varphi_0$ und $\dot{\varphi}(0) = 0$ zur Lösung (3).

Wir wollen nun die Einheiten von $D$,$D_R$,$I$ und $\varphi$ betrachten. Da $D$ ein Drehmoment ist wird dieses in der Einheit Nm gemessen (also $[D] = \mathrm{Nm}$). $I$ ist ein Trägheitsmoment, also ist die Einheit $[I] = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2$. Da $\varphi$ ein Winkel ist, ist seine Einheit entweder $^\circ$ oder im Bogenmaß $\mathrm{rad}$. Für $D_R$ gilt die Beziehung $D_R = - \frac{D}{\varphi}$. Daher ist die Einheit $[D_R] = \frac{\mathrm{Nm}}{\mathrm{rad}}$ bzw. $[D_R] = \frac{\mathrm{Nm}}{^\circ}$.

Wir wollen nun die Gl. (3) in Gl.(2) des Begleitmaterials einsetzen, um so die Beziehung für $\omega$ zu beweisen. Man erhält: $$\begin{align*} &I\cdot \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(\varphi_0 \cos{\omega t}) = - D_R\cdot\varphi_0 \cos{\omega t}\\ \Leftrightarrow\; &I \cdot \varphi_0 \cdot (-\omega^2)\cos{\omega t} = - D_R\cdot \varphi_0 \cos{\omega t}\\ \Leftrightarrow\; &I \cdot \omega^2 = D_R\\ \Leftrightarrow\; &\omega^2 = \frac{D_R}{I}\\ \Rightarrow\; &\omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}} \end{align*}$$ Damit haben wir die Beziehung für $\omega$ bewiesen und es gilt $\omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$.

Das Drehmoment $M$ ließe sich expermientell über die Beziehung $M = I\cdot \dot{\omega}$ bestimmen. Hierbei ist $I$ das Trägheitsmoment und $\dot{\omega}$ die Winkelbeschleunigung. Die Winkelbeschleunigung kann mittels $\ddot{\varphi}(t) = \varphi_0\cdot (-\omega^2)\cdot \cos{(\omega t)} = - \varphi_0\cdot \frac{D_R}{I}\cos{(\sqrt{\frac{D_R}{I}}t)}$ bestimmt werden, wobei $D_R$ und $I$ ebenfalls experimentell bestimmt werden können. Wenn man nun für $t$ die Periodendauder verwendet, erhält man die Winkelgeschwindigkeit am Ende einer Periode, womit man das Drehmoment am Ende einer Periode bestimmen kann.

Das Drehmoment ist vergleichbar mit der Kraft, nur dass hier eine Drehbewegung anstatt einer geradlinigen Bewegung stattfindet. Damit können wir Rückschlüsse auf die Arbeit schließen. Für die Kraft gilt $W = \int \vec F(\vec s)\cdot \mathrm{d}\vec s$. Nun haben wir hier aber einen Winkel anstatt einer geradlinigen Bewegung. Das heißt, es wird eine Arbeit verrichtet, wenn zwischen zwei Winkeln ein konstantes Drehmoment wirkt. Das heißt, es gilt $W = \int \vec D \cdot \mathrm{d}\vec{\varphi}$. Dann erhalten wir die Beziehung $\mathrm{d}W = D \mathrm{d}\varphi$ für die Arbeit. Die Rotationsenergie ist $\frac{1}{2}I\dot{\varphi}^2$. Es ist also$D \mathrm{d}\varphi = \frac{1}{2}I\dot{\varphi}^2$ als Änderung an Rotationsenergie. Damit ergibt sich: $$\begin{align*} &D \mathrm{d}\varphi = \frac{1}{2}I\dot{\varphi}^2 && \vert :\mathrm{d}t\\ \Leftrightarrow\; &D\dot{\varphi} = \frac{1}{2}I \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\dot{\varphi}^2)\\ \Leftrightarrow\; &D\dot{\varphi} = \frac{1}{2}I \cdot 2 \cdot \dot{\varphi}\ddot{\varphi}\\ \Leftrightarrow\; &D = I\cdot \ddot{\varphi} \end{align*}$$ Mit $D = - D_R \cdot \varphi$ erhalten wir die Beziehung aus Gleichung 2 vom Begleitmaterial.

Der Steinersche Satz lautet: $I_B = I_S + a^2M$. Dabei ist $I_S$ das Trägheitsmoment um die Rotationsachse, die durch den Schwerpunkt des Körpers geht. $I_B$ ist die Rotationsachse, die parallel zu $I_S$ liegt. $a$ ist die Entfernung zwischen den beiden Achsen und M ist die Gesamtmasse des Körpers. Bei unserem Verusch benötigen wir den Steinerschen Satz aber nicht, da wir die Hauptträgheitsachsen nutzen.

$$\begin{align} I&=\frac{1}{4}mR^2+\frac{1}{12}ml^2\label{TragheitsmomentStabFormel} \end{align}$$ Gemessen haben wir: $$\begin{align*} l&=(15{,}7\pm0{,}1)\mathrm{cm}=(0{,}157\pm0{,}001)\mathrm{m}\\ R&=(3{,}05\pm0{,}05)\mathrm{mm}=(305\pm5)\cdot10^{-5}\,\mathrm{m}\\ m&=(34\pm0{,}5)\mathrm{g}=(0{,}034\pm0{,}0005)\mathrm{kg} \end{align*}$$ Das ergibt: $$\begin{align*} \Rightarrow I&= \frac{1}{4}0{,}034\mathrm{kg}(305\cdot10^{-5}\mathrm{m})^2+\frac{1}{12}0{,}034\mathrm{kg}(0{,}157\mathrm{m})^2=6{,}99\cdot10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\\ \mathrm{u}(I)&=\sqrt{\left((\frac{\partial I}{\partial m})\cdot\mathrm{u}(m)\right)^2+\left((\frac{\partial I}{\partial l})\cdot\mathrm{u}(m)\right)^2+\left((\frac{\partial I}{\partial l})\cdot\mathrm{u}(m)\right)^2}\\ &=\sqrt{((\frac{1}{4}R^2+\frac{1}{12}l^2)\cdot\mathrm{u}(m))^2+(\frac{1}{2}mR\cdot\mathrm{u}(l))^2+(\frac{1}{6}ml\cdot\mathrm{u}(R))^2}\\ &=\sqrt{((\frac{1}{4}(305\cdot10^{-5}\mathrm{m})^2+\frac{1}{12}(0{,}157\mathrm{m})^2)\cdot0{,}0005\mathrm{kg})^2}\\&\overline{+(\frac{1}{2}0{,}034\mathrm{kg}\cdot305\cdot10^{-5}\mathrm{m}\cdot0{,}001\mathrm{m})^2+(\frac{1}{6}0{,}034\mathrm{kg}\cdot0{,}157\mathrm{m}\cdot5\cdot10^{-5}\mathrm{m})^2}\\ &=10\cdot10^{-7}\mathrm{kg}\mathrm{m}^2\end{align*}$$

Gemessen mit einer Schieblehre: Durchmesser des Drahtes $=(0{,}7\pm0{,}1)\mathrm{mm}$

Die Unsicherheit der Länge ist $u(L) = 2\,\mathrm{mm}$. Für die Unsicherheit der Periodendauer siehe den Abschnitt zu Unsicherheiten hier im Wiki.

Programm für die Unsicheit (läuft nur auf Windows):

Schrecksekunde.cpp

#include <Windows.h>
#include <chrono>
#include <fstream>
#include <iostream>
#include <pthread.h>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <vector>
#include <iomanip>
 
std::chrono::steady_clock::time_point keyTime;
std::vector<double> deltaTimes;
bool spacePressed = false;
 
//function for writing a string to a csv file
int writeTextToCsv(std::string text, std::string filename) {
    std::ofstream fileStream;
    fileStream.open(filename + ".csv");
    fileStream << text;
    fileStream.close();
    return 0;
}
 
//saves the time in a global variable when the space bar is pressed
void *keyPressedTime(void *) {
    while (!(GetKeyState(VK_SPACE) & 0x8000)) {
        Sleep(1);
    }
    spacePressed = true;
    keyTime = std::chrono::steady_clock::now();
    return 0;
}
 
int main() {
    std::cout << "Try to hit 'space' when '5' is showing, the output will be written in a csv file\nit will now run ten times" << std::endl;
 
    //the pc time measure systematic error
    std::chrono::steady_clock::time_point pcTimeBegin = std::chrono::steady_clock::now();
    std::chrono::steady_clock::time_point pcTimEnd = std::chrono::steady_clock::now();
    int pcTimeDiff = std::chrono::duration_cast<std::chrono::microseconds>(pcTimEnd - pcTimeBegin).count();
 
    pthread_t keyThread;
 
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        Sleep(1000);
        std::cout << std::endl;
 
        spacePressed = false;
 
        //start time measure for space press
        pthread_create(&keyThread, NULL, &keyPressedTime, NULL);
 
        std::chrono::steady_clock::time_point begin;
 
        //counter
        for (int num = 1; num <= 1000; num++) {
            Sleep(10);
            std::cout << "\r" << std::setprecision(2) << std::fixed << num / 100.0;
            if (num == 500) {
                //reference time point
                begin = std::chrono::steady_clock::now();
            }
            if (num >= 500 && spacePressed) {
                break;
            }
        }
 
        //wait till space pressed
        void *status;
        pthread_join(keyThread, &status);
 
        //calculate time diff
        double deltaTime = (std::chrono::duration_cast<std::chrono::microseconds>(keyTime - begin).count() - pcTimeDiff) * 1.0e-6;
        deltaTimes.push_back(deltaTime);
 
        std::cout << "\r" << 5 + deltaTime << std::endl;
 
        //printout time diff
        std::cout << "Time difference = " << deltaTime << " s" << std::endl;
    }
 
    //output writing
    std::string deltaTimesStr = "reaction times in s\tmean absolute reaction time in s\n";
    for (int i = 0; i < deltaTimes.size(); i++) {
        deltaTimesStr += std::to_string(deltaTimes[i]);
        if (i == 0) {
            deltaTimesStr += "\t";
            double sum = 0;
            for (auto data : deltaTimes) {
                sum += abs(data);
            }
            deltaTimesStr += std::to_string(sum / deltaTimes.size());
        }
        deltaTimesStr += "\n";
    }
    writeTextToCsv(deltaTimesStr, "reaction_times");
    return 0;
}

Die Zeiten sind jeweils die Differenz zu 5s.

Aus den Mittelwerten der Absolutwerte ergibt sich hier also eine Unsicherheit von $u(T_5) = 0{,}16$ s. Damit erhalten wir eine Unsicherheit von $u(T) = 0{,}03$ s.

Im folgenden haben wir verschiedene Aufhängungen versucht und dabei Videos aufgenommen um ihr Drehverhalten zu überprüfen. Zuerst einmal das Video, in dem wir die Gitarrensaite verwendet haben. Die Saite, die hier verwendet wurde, ist nicht die Saite, welche zum Messen verwendet wurde. Sie dient lediglich zur Veranschaulichung: Als nächstes haben wir einen dickeren Bindfaden verwendet. Beim ersten Video haben wir eine Startauslenkung angenommen: Hier wurde wieder der dickere Bindfaden verwendet, nur das wir statt einer Startauslenkung dem Stab einen Impuls gegeben. Nun haben wir einen dünnen Bindfaden verwendet. Hier mit einer Startauslenkung: Hier wieder mit einem Startimpuls: Als nächstes haben wir ein paar Gummibänder zerschnitten und diese zusammengeknotet und diese dann als Aufhängung verwendet. Hier mit einer Startauslenkung: Als letztes haben wir einen Schnürsenkel ausprobiert. Wieder mit einer Startauslenkung.

Näheres dazu im Bericht im Kapitel “Variation der Aufhängung”.

$\text{Umfang}=(18{,}5\pm0{,}3)\mathrm{cm},\ \text{Masse}=(7\pm0{,}5)\mathrm{g}$ Bei $L=(42\pm0{,}5)\mathrm{cm}$ wurde $T_5=3{,}19\mathrm{s}$ gemessen. Die Kugel ist leicht, der Draht war nicht ganz straff.

$\text{Höhe}=2{,}47\mathrm{cm}\pm0{,}1\mathrm{mm},\ \text{Breite}=11{,}8\mathrm{cm}\pm1\mathrm{mm},\ \text{Tiefe}=18{,}1\mathrm{cm}\pm1\mathrm{mm},\ \text{Masse}=(294\pm0{,}5)\mathrm{g}$. Höhe, Breite und Tiefe bezogen darauf, dass das Buch Plan auf dem Tisch liegt (im Bild anders). Bei einer Drahtlänge von $(43\pm0{,}5)\mathrm{cm}$ wurde für fünf Perioden eine Dauer von $58{,}95\mathrm{s}$ gemessen.