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| a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:start [21 January 2021 23:44] – timachtzehn | a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:start [22 January 2021 21:05] (current) – timachtzehn | ||
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| Willkommen zu unserer Wiki-Seite des zweiten Online-Versuches. Hier präsentieren wir Bilder, Tabellen und ähnliches, um den Bericht auszudünnen und zu untermauern. | Willkommen zu unserer Wiki-Seite des zweiten Online-Versuches. Hier präsentieren wir Bilder, Tabellen und ähnliches, um den Bericht auszudünnen und zu untermauern. | ||
| - | ===== Vorüberlegungen | + | ===== Theoretische Grundlagen |
| + | == Kreisfrequenz aus Schwingungsdauer == | ||
| + | Die Kreisfrequenz $\omega$ lässt sich aus der Schwingungsdauer T mit $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ berechnen. | ||
| + | |||
| + | == Bechreibung der Physikalischen Bewegung == | ||
| + | Man kann die Drehschwingung als $\phi(t) = \phi_0 cos(\omega t)$ mit $\omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$ beschreiben. \\ | ||
| + | Wobei diese Drehung dann mit einem voll in positiver Richtung ausgeschlagenem Objekt (nämlich um $\phi_0$) ohne Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Null startet. | ||
| + | |||
| + | == Die Einheiten == | ||
| + | Winkel $\phi$: | ||
| + | Trägheitsmoment I bzw. J: | ||
| + | Drehmoment D: | ||
| + | Winkelrichtgröße $D_R$: | ||
| + | |||
| + | == Bewegungsgleichung == | ||
| + | Wenn man sich nun die Bewegungsgleichung $I \ddot{\phi} = - D_R \phi$ anschaut und den Ansatz $\phi(t) = \phi_0 cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t)$ einsetzt, merkt man, \\ | ||
| + | $- I \phi_0 \frac{D_R}{I} cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t) = - D_R \phi_0 cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t)$ \\ | ||
| + | $- \phi_0 D_R cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t) = - D_R \phi_0 cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t)$ \\ | ||
| + | $1 = 1$ \\ | ||
| + | dass der Ansatz aufgeht. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Trägheitsmoment bestimmen == | ||
| + | Ein Trägheitsmoment lässt sich bestimmen sobald man eine bekannte Kraft hat und die Beschleunigung bestimmen kann. Ein an einem aufgewickelten Faden hängedes und ziehendes Gewicht, dass beim Abwickeln einen Gegenstand mit dreht wäre eine Möglichkeit. \\ | ||
| + | Wir machen dies, indem wir einen Oszillator mit gleichbleibender winkelabhängiger Kraft durch eine Aufhängung an einer Gitarrensaite erzeugen. Durch die Periodendauer und dem Zusammenhang zwischen drahtabhängiger, | ||
| + | Nimmt man also einen Gegenstand mit bekanntem Trägheitsmoment und misst seine Periodendauer, | ||
| + | |||
| + | == Differentialgleichung | ||
| Die beim Beschleunigen geleistete Arbeit eines rotierenden Körpers wird mit $W_{Beschleunigung} = \frac{1}{2} J\cdot \dot{\phi}^2$ berechnet. Diesen Zusammenhang nutzen wir, um die Bewegungsgleichung herzuleiten: | Die beim Beschleunigen geleistete Arbeit eines rotierenden Körpers wird mit $W_{Beschleunigung} = \frac{1}{2} J\cdot \dot{\phi}^2$ berechnet. Diesen Zusammenhang nutzen wir, um die Bewegungsgleichung herzuleiten: | ||
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| Diese Bewegungsgleichung wird durch die harmonische Schwingung $\phi(t) = \phi_0 \cos(\omega \cdot t)$ gelöst. Unsere Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt $t=0$ sind dabei die Auslenkung $\phi(0) = \phi_0 \cos(0)= \phi_0 \cdot 1 = \phi_0$ und die Geschwindigkeit von $\dot{\phi(0)} = \omega \cdot \phi_0 \sin(0)= \omega \cdot \phi_0 \cdot 0 = 0$. | Diese Bewegungsgleichung wird durch die harmonische Schwingung $\phi(t) = \phi_0 \cos(\omega \cdot t)$ gelöst. Unsere Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt $t=0$ sind dabei die Auslenkung $\phi(0) = \phi_0 \cos(0)= \phi_0 \cdot 1 = \phi_0$ und die Geschwindigkeit von $\dot{\phi(0)} = \omega \cdot \phi_0 \sin(0)= \omega \cdot \phi_0 \cdot 0 = 0$. | ||
| + | == Steinerscher Satz == | ||
| + | Der Steinersche Satz ist in diesem Versuch ganz hilfreich. Er besagt, dass man ein Trägheitsmoment I, wenn man es von seiner alten Drehachse um den Abstand d entfernt mit $I_{neu} = I_{alt} + m * d^2$ berechnen kann. m ist dabei die Masse des Gegenstandes des Trägheitsmoments. | ||
| + | Für seinen Beweis benötigt man lediglich die Formel $I = m * d^2$, die man dann über ein Volumen integrieren kann und den Satz des Pythagoras | ||
| - | ==== Tabellen ==== | ||
| - | ^ Drehschwingung | ||
| - | | Holzstab | ||
| - | | | ||
| - | | | T_5 in Sekunden | ||
| - | | L in cm | 50,3 | 44 | 40 | 35,3 | 20 | | ||
| - | | Messung | ||
| - | | 1 | 54,26 | 49,99 | 46,83 | 43,72 | 40,11 | | ||
| - | | 2 | 53,76 | 50,37 | 47,48 | 43,17 | 40,31 | | ||
| - | | 3 | 54,36 | 50,06 | 47,78 | 44,04 | 40,06 | | ||
| - | | | ||
| - | | Mittelwert | ||
| - | | Stabw | 0, | ||
| - | | | ||
| - | | Mittel(T) | ||
| - | | Stabw(T) | ||
| - | ^ Flensburger | ||
| - | | | ||
| - | | Messung | ||
| - | | T_5 | 12,22 | 12,44 | 12,82 | 12,82 | 12,29 | 12,57 | 12,38 | 12,68 | 12,51 | 12,36 | | ||
| - | | | ||
| - | | Mittel(T_5) | ||
| - | | | ||
| - | | | ||
| - | ^ Flens mit 100ml Wasser | ||
| - | | | ||
| - | | T_ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | | ||
| - | | 1 | 2,18 | 4,67 | 7,2 | 9,71 | 12,03 | 14,19 | 16,59 | 18,9 | 21,23 | 23,5 | | ||
| - | | 2 | 2,44 | 4,86 | 7,44 | 9,85 | 12,3 | 14,61 | 17,17 | 19,39 | 21,6 | 23,93 | | ||
| - | | 3 | 2,25 | 4,74 | 7,32 | 9,52 | 11,95 | 14,12 | 16,55 | 19,06 | 21,76 | 23,59 | | ||
| - | | | ||
| - | | Mittelwert(T_n) | ||
| - | | (T_n)-(T_(n-1)) | ||
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| - | ==== Videos ==== | ||
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| - | ==== Bilder ==== | ||
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| | Stabw(T) | | Stabw(T) | ||
| - | ==== Ermitteln | + | == Radius der Saite == |
| + | |||
| + | {{: | ||
| + | {{: | ||
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| + | === Bestimmung | ||
| + | |||
| + | == Aufbau == | ||
| + | |||
| + | {{: | ||
| + | |||
| + | ==== Betrachtung einer pendelnden Bierflasche | ||
| + | |||
| + | Eigentlich wollten wir mit diesem Versuch das Trägheitsmonet der Bierflasche ausrechnen. Jedoch ist uns aufgefallen, | ||
| == Aufbau und Durchführung == | == Aufbau und Durchführung == | ||
| - | {{ : | + | {{ : |
| + | ;#; | ||
| + | In dem Video lässt sich der Aufbau ganz gut erkennen: Die Falsche wurde mittels Schlaufe durch den Plop-Deckel an der dem Gestell mit einer Klemme angebracht. | ||
| + | ;#; | ||
| == Noch mal mit Füllung == | == Noch mal mit Füllung == | ||
| - | {{ : | + | {{ : |
| + | ;#; | ||
| + | Auf diesem Video ist zu sehen, wie sich die Bierflasche mit 100ml Wasser Inhalt verhählt. | ||
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| + | ;#; | ||
| + | Noch mal zum Vergleich: 30 Sekunden ohne Inhalt. | ||
| + | ;#; | ||
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| + | |||
| + | Achtet man am Ende der Videos auf die Maximalen Auslenkswinkel sieht man: die Amplitude der mit Wasser gefüllten Flasche nimmt viel schneller ab. | ||
| + | |||
| + | == Ergebnisse == | ||
| + | ^ Flensburger | ||
| + | | | ||
| + | | Messung | ||
| + | | T_5 | 12,22 | 12,44 | 12,82 | 12,82 | 12,29 | 12,57 | 12,38 | 12,68 | 12,51 | 12,36 | | ||
| + | | | ||
| + | | Mittel(T_5) | ||
| + | | | ||
| + | | | ||
| + | ^ Flens mit 100ml Wasser | ||
| + | | | ||
| + | | T_ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | | ||
| + | | 1 | 2,18 | 4,67 | 7,2 | 9,71 | 12,03 | 14,19 | 16,59 | 18,9 | 21,23 | 23,5 | | ||
| + | | 2 | 2,44 | 4,86 | 7,44 | 9,85 | 12,3 | 14,61 | 17,17 | 19,39 | 21,6 | 23,93 | | ||
| + | | 3 | 2,25 | 4,74 | 7,32 | 9,52 | 11,95 | 14,12 | 16,55 | 19,06 | 21,76 | 23,59 | | ||
| + | | | ||
| + | | Mittelwert(T_n) | ||
| + | | (T_n)-(T_(n-1)) | ||
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