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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:start [22 January 2021 16:55] – trägheitsmoment bestimmen adriaanricherta_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:start [22 January 2021 21:05] (current) – timachtzehn
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 Drehmoment D:   [$\frac{kg * m^2}{s^2}$] \\ Drehmoment D:   [$\frac{kg * m^2}{s^2}$] \\
 Winkelrichtgröße $D_R$:   [$\frac{kg * m^2}{s^2}$]  Winkelrichtgröße $D_R$:   [$\frac{kg * m^2}{s^2}$] 
 +
 +== Bewegungsgleichung ==
 +Wenn man sich nun die Bewegungsgleichung $I \ddot{\phi} = - D_R \phi$ anschaut und den Ansatz $\phi(t) = \phi_0 cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t)$ einsetzt, merkt man, \\
 +$- I \phi_0 \frac{D_R}{I} cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t) = - D_R \phi_0 cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t)$ \\
 +$- \phi_0 D_R cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t) = - D_R \phi_0 cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t)$ \\
 +$1 = 1$ \\
 +dass der Ansatz aufgeht.
 +
 +
 +== Trägheitsmoment bestimmen ==
 +Ein Trägheitsmoment lässt sich bestimmen sobald man eine bekannte Kraft hat und die Beschleunigung bestimmen kann. Ein an einem aufgewickelten Faden hängedes und ziehendes Gewicht, dass beim Abwickeln einen Gegenstand mit dreht wäre eine Möglichkeit. \\
 +Wir machen dies, indem wir einen Oszillator mit gleichbleibender winkelabhängiger Kraft durch eine Aufhängung an einer Gitarrensaite erzeugen. Durch die Periodendauer und dem Zusammenhang zwischen drahtabhängiger, rücktreibener Kraft und dem Tägheitsmoment des aufgehängten Gegenstandes, lässt sich, bei Kenntniss über einer dieser Werte der andere bestimmen. \\
 +Nimmt man also einen Gegenstand mit bekanntem Trägheitsmoment und misst seine Periodendauer, kann man die Rücktreibende Kraft des Drahtes berechnen und mit ihm das Trägheitsmoment beliebig aufhängbarer Gegenstände bestimmen.
  
 == Differentialgleichung == == Differentialgleichung ==
Line 37: Line 50:
 Diese Bewegungsgleichung wird durch die harmonische Schwingung $\phi(t) = \phi_0 \cos(\omega \cdot t)$ gelöst. Unsere Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt $t=0$ sind dabei die Auslenkung $\phi(0) = \phi_0 \cos(0)= \phi_0 \cdot 1 = \phi_0$ und die Geschwindigkeit von $\dot{\phi(0)} = \omega \cdot \phi_0 \sin(0)= \omega \cdot \phi_0 \cdot 0 = 0$. Diese Bewegungsgleichung wird durch die harmonische Schwingung $\phi(t) = \phi_0 \cos(\omega \cdot t)$ gelöst. Unsere Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt $t=0$ sind dabei die Auslenkung $\phi(0) = \phi_0 \cos(0)= \phi_0 \cdot 1 = \phi_0$ und die Geschwindigkeit von $\dot{\phi(0)} = \omega \cdot \phi_0 \sin(0)= \omega \cdot \phi_0 \cdot 0 = 0$.
  
-== Trägheitsmoment bestimmen == +== Steinerscher Satz == 
-Ein Trägheitsmoment lässt sich bestimmen sobald man eine bekannte Kraft hat und die Beschleunigung bestimmen kann. Ein an einem aufgewickelten Faden hängedes und ziehendes Gewicht, dass beim Abwickeln einen Gegenstand mit dreht wäre eine Möglichkeit. \\ +Der Steinersche Satz ist in diesem Versuch ganz hilfreich. Er besagt, dass man ein Trägheitsmoment I, wenn man es von seiner alten Drehachse um den Abstand d entfernt mit $I_{neu} = I_{alt} + m * d^2$ berechnen kann. m ist dabei die Masse des Gegenstandes des Trägheitsmoments. 
-Wir machen dies, indem wir einen Oszillator mit gleichbleibender winkelabhängiger Kraft durch eine Aufhängung an einer Gitarrensaite erzeugen. Durch die Periodendauer und dem Zusammenhang zwischen drahtabhängiger, rücktreibener Kraft und dem Tägheitsmoment des aufgehängten Gegenstandes, lässt sich, bei Kenntniss über einer dieser Werte der andere bestimmen. \\ +Für seinen Beweis benötigt man lediglich die Formel $I = m * d^2$, die man dann über ein Volumen integrieren kann und den Satz des Pythagoras  
-Nimmt man also einen Gegenstand mit bekanntem Trägheitsmoment und misst seine Periodendauer, kann man die Rücktreibende Kraft des Drahtes berechnen und mit ihm das Trägheitsmoment beliebig aufhängbarer Gegenstände bestimmen.+ 
  
  
Line 72: Line 86:
 | Stabw(T)        | 0,06429100507    | 0,04044749683  | 0,09712534856  | 0,08800757543  | 0,02645751311  | | Stabw(T)        | 0,06429100507    | 0,04044749683  | 0,09712534856  | 0,08800757543  | 0,02645751311  |
  
-==== Ermitteln des Trägheitsmomentes einer Flensburgerflasche ====+== Radius der Saite == 
 + 
 +{{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:img_20210122_155559.jpg?400|}} Bei[[https://www.thomann.de/de/onlineexpert_page_saitenkunde_e_gitarren_saitenstaerken.html#:~:text=Saitenst%C3%A4rken%20werden%20im%20Allgemeinen%20in,umgerechneten%20Durchmesser%20von%200.254%20mm.|Thomann]] findet man für die Regular-B Seiten einen Durchmesser von $0,013 Zoll$, was $0,3302 mm$ entspricht\\ 
 +{{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:img_20210122_161619.jpg?400|}} selbst nachgemessen: 9 Saiten nebeneinander gelegt füllen $3mm$ aus 
 + 
 +=== Bestimmung des Trägheitsmomentes einer Christbaumkugel === 
 + 
 +== Aufbau == 
 + 
 +{{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:kugel.jpg?400|}} Der Aufbau dieses Versuchs erfolgte ähnlich wie beim Stab. Nur ließ sich die Kugel deutlich einfacher befestigen. 
 + 
 +==== Betrachtung einer pendelnden Bierflasche ==== 
 + 
 +Eigentlich wollten wir mit diesem Versuch das Trägheitsmonet der Bierflasche ausrechnen. Jedoch ist uns aufgefallen, dass bei dem Aufbau sich die Schwingung ganz anders verhält als beim Stab (da wir mit der Saite eine Schlaufe gebildet haben und diese sich selbst eindreht) und damit die Bewegungsgleichung viel komplizierter ist. Trotzdem fanden wir die Pendelbewegung recht schön anzusehen, weswegen wir sie hier noch mal mit eingebracht haben.
  
 == Aufbau und Durchführung == == Aufbau und Durchführung ==
-{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:flensaufbau.mp4 |}}+{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:flensaufbau.mp4 |}}  
 +;#; 
 +In dem Video lässt sich der Aufbau ganz gut erkennen: Die Falsche wurde mittels Schlaufe durch den Plop-Deckel an der dem Gestell mit einer Klemme angebracht. 
 +;#;
  
 == Noch mal mit Füllung == == Noch mal mit Füllung ==
-{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:torsion_mit_wasser.mp4 |}}+{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:torsion_mit_wasser.mp4 |}}\\ 
 +;#; 
 +Auf diesem Video ist zu sehen, wie sich die Bierflasche mit 100ml Wasser Inhalt verhählt. 
 +;#; 
 + 
 + 
 +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:torsion_ohne_wasser.mp4 |}}\\ 
 +;#; 
 +Noch mal zum Vergleich: 30 Sekunden ohne Inhalt. 
 +;#; 
  
-{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe304:torsion_ohne_wasser.mp4 |}}+Achtet man am Ende der Videos auf die Maximalen Auslenkswinkel sieht man: die Amplitude der mit Wasser gefüllten Flasche nimmt viel schneller ab.
  
 == Ergebnisse == == Ergebnisse ==