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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe314:start [21 January 2021 14:35] – lisadigiacomoa_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe314:start [ 2 February 2021 11:01] (current) – [Berechnung des Torsionsmoduls G] lisadigiacomo
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 == Experimentelle Bestimmung des Drehmoments == == Experimentelle Bestimmung des Drehmoments ==
-Joa keine ahnung. evtl trägheitsmoment und damit dann drhemoment berechnen????+Das Drehmoment kann man mit einem Drehmomentschlüssel bestimmt werden. Dabei verbiegt sich der lange Schaft mit dem Griff bei Einwirkung einer Kraft. Die Stellung des Zeigers verändert sich dabei nicht. An einer Skala kann da das Drehmoment abgelesen werden. \\ 
 +Zum anderen kann man das Drehmoment über den Drehimpuls bestimmen. Der Drehimpuls ist das Produkt aus Winkelgeschwingigkeit und Trägheitsmoment. Beides kann experimentell bestimmt werden und mit der Beziehung, dass das Drehmoment die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist, das Drehmoment berechnen.
 == Rotationsenergie == == Rotationsenergie ==
 Arbeit ist bei Translation das Produkt aus Kraft und Weg. In der Rotation ist das Drehmoment und der Drehwinkel das Äquivalent zu Kraft und Weg. Das bedeutet, dass die Änderung der Arbeit durch das Produkt aus Drehmoment und der Änderung des Winkels ausgedrückt werden kann. In der Translation wäre die Änderung der Arbeit das Produkt aus Arbeit und Änderung des Ortes. \\ Arbeit ist bei Translation das Produkt aus Kraft und Weg. In der Rotation ist das Drehmoment und der Drehwinkel das Äquivalent zu Kraft und Weg. Das bedeutet, dass die Änderung der Arbeit durch das Produkt aus Drehmoment und der Änderung des Winkels ausgedrückt werden kann. In der Translation wäre die Änderung der Arbeit das Produkt aus Arbeit und Änderung des Ortes. \\
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 $dW = D \cdot d\varphi$. $dW = D \cdot d\varphi$.
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- +\\ 
-Welche Änderung an Rotationsenergie entspricht dem? +Jedes Masseelement eines rotierenden starren Körper besitzt eine bestimmte kinetische Energie, die von der Masse und deren Geschwindigkeit abhängig ist. Die Geschwindigkeit hängt bei Winkelgeschwindigkeit vom Abstand von der Drehachse ab. Diese Energie bezeichnet man als Rotationsenergie: 
 +;#; 
 +$E_{Rot}=\frac{1}{2}\cdot I\cdot\omega^2$ 
 +;#; 
 + 
 == Steiner'sche Satz == == Steiner'sche Satz ==
 Der Steiner'sche Satz besagt, dass wenn ein Körper der Masse $m$ um eine Achse rotiert, die im Abstand $h$ parallel zur Schwerpunktsachse des Körpers verläuft, so muss zum jeweiligen Wert des Trägheitsmoments der Term $m\cdot h^2$ addiert werden. Es folgt:\\ Der Steiner'sche Satz besagt, dass wenn ein Körper der Masse $m$ um eine Achse rotiert, die im Abstand $h$ parallel zur Schwerpunktsachse des Körpers verläuft, so muss zum jeweiligen Wert des Trägheitsmoments der Term $m\cdot h^2$ addiert werden. Es folgt:\\
Line 108: Line 113:
 $I = I_{s} + m\cdot h^2$. $I = I_{s} + m\cdot h^2$.
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 +\\
 +Um den Steiner´schen Satz experimentell zu beweisen, benutzt man einen Drehscheiben-Torsionspendel. 
  
-Welche physikalische Aussage benötigen Sie zu seinem Beweis? 
  
 ====== Torsionsmodul des Drahtes ====== ====== Torsionsmodul des Drahtes ======
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 |         | 7,17    |                  |                          |                      | |         | 7,17    |                  |                          |                      |
 |         |         |                  |                          |                      | |         |         |                  |                          |                      |
-| 0,108   | 3,595  | 3,61             | 0,04                     | 0,018                |+| 0,108   | 3,595   | 3,61             | 0,04                     | 0,018                |
 |         | 3,660   |                  |                          |                      | |         | 3,660   |                  |                          |                      |
 |         | 3,615   |                  |                          |                      | |         | 3,615   |                  |                          |                      |
 |         | 3,550   |                  |                          |                      | |         | 3,550   |                  |                          |                      |
 |         | 3,630   |                  |                          |                      | |         | 3,630   |                  |                          |                      |
-NOCH MIT FORMEL DR SCHWINGUNGSDAUER BERECHNEN????+
  
  
 ====== Berechnung des Torsionsmoduls G ====== ====== Berechnung des Torsionsmoduls G ======
  
-Zur Berechnung des Torsionsmoduls werden die Gleichungen $D_{R} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{G \cdot r^4}{L}$ und $ T= 2\cdot \pi \sqrt{\frac {I}{D_{R}}}$. Wenn wir die Gleichung für die Schwingungsdauer nach $D_{R}$ umstellen, können wir beides gleichsetzen und erhalten +Zur Berechnung des Torsionsmoduls werden die Gleichungen $D_{R} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{G \cdot r^4}{L}$ und $ T= 2\cdot \pi \sqrt{\frac {I}{D_{R}}}$ verwendet. Wenn wir die Gleichung für die Schwingungsdauer nach $D_{R}$ umstellen, können wir beides gleichsetzen und erhalten 
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 $ G = \frac{8\pi \cdot I \cdot L}{T^2 \cdot r^4}$. $ G = \frac{8\pi \cdot I \cdot L}{T^2 \cdot r^4}$.
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 == Torsionsmodul der Gitarrensaite == == Torsionsmodul der Gitarrensaite ==
-Die Steigung des Graphens für die Gitarrensaite ist $a = (37,4 \pm 0,5 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,0001 \pm 0,00005)~m$. +Die Steigung des Graphens für die Gitarrensaite ist $a = (36,3 \pm 0,7 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,00014 \pm 0,00005)~m$. 
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-$ G_{Saite} = ( 96,1 \pm 7,5)~ GPa$. +$ G_{Saite} = ( 74,4 \pm 2,4)~ GPa$. 
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-Der Literaturwert für Stahl ist etwa $G = 79,3 ~GPa$. Das ist eine Abweichung von $21,19\%$, was anhand der Messunsicherheiten erklärbar sein wird.+Der Literaturwert für Stahl ist etwa $G = 79,3 ~GPa$. Das ist eine Abweichung von $6,6\%$, was anhand der Messunsicherheiten erklärbar sein wird.
 == Torsionsmodul des Gummiband == == Torsionsmodul des Gummiband ==
-Die Steigung des Graphens für das Gummiband ist $a = (616,9 \pm 15,5 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,0005 \pm 0,00005)~m$.+Die Steigung des Graphens für das Gummiband ist $a = (601,4 \pm 75,6 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,0005 \pm 0,00005)~m$.
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-$ G_{Gummi} = ( 0,0093\pm 0.0008)~ GPa$. +$ G_{Gummi} = ( 0,0276\pm 0.0111)~ GPa$. 
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 +Der Literaturwert beträgt etwa $0,0003~GPa$. Es muss also bei der Messung ein Fehler aufgetreten sein, oder bei der Berechung von dem Torsionsmodul, da sich der Wert um $10^2$ vergrößert hat. 
 == Torsionsmodul des Kabels  == == Torsionsmodul des Kabels  ==
-Die Steigung des Graphens für das Kabel ist $a = (0,33 \pm 0,04 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,0015 \pm 0,00005)~m$.+Die Steigung des Graphens für das Kabel ist $a = (0,25 \pm 0,03 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,0015 \pm 0,00005)~m$.
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-$ G_{Kabel} = ( 0,22\pm 0,03)~ GPa$. +$ G_{Kabel} = ( 0,82\pm 0,15)~ GPa$. 
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 == Torsionsmodul des Garns == == Torsionsmodul des Garns ==
-Die Steigung des Graphens für das Garnstück ist $a = (96,4 \pm 4,2 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,001 \pm 0,00005)~m$.+Die Steigung des Graphens für das Garnstück ist $a = (118,2 \pm 21,2 )~\frac{m}{s^2}$ und $ r = (0,001 \pm 0,00005)~m$.
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-$ G_{Garn} = ( 0,0037 \pm 0,0003) ~GPa$. +$ G_{Garn} = ( 0,009 \pm 0,002) ~GPa$. 
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 +Leider wurden für die zwei weiteren Torsionsaufhängungen keine Literaturwerte gefunden.
 ====== Berechnung des Trägheitsmoments ====== ====== Berechnung des Trägheitsmoments ======
 ==== Versuchsaufbau ==== ==== Versuchsaufbau ====
-BILDER REIN\\ +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe314:bild1.jpg?200 |}}{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe314:bild2.jpg?200 |}}{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe314:bild3.jpg?200 |}} 
-Um den Trägheitsmoment zu bestimmen, brauche ich die Periodendauer T. Diese habe ich bestimmt, indem ich für fünf Perioden die Zeit gestoppt habe. Für eine Periode die Zeit zu messen, wäre die Unsicherheit noch viel größer. Außerdem habe ich dies fünfmal gemacht und daraus den Mittelwert durch fünf geteilt. Zum stoppen der Zeit haben ich die Akustische Stoppuhr von phyphox genutzt.\\ + 
-Das Trägheitsmoment habe ich mit den Folgenden Formeln berechnet:\\ + 
 +Um das Trägheitsmoment zu bestimmen, brauchen wir die Periodendauer T. Diese haben wir bestimmt, indem wir für fünf Perioden die Zeit gestoppt haben. Für eine Periode die Zeit zu messen, wäre die Unsicherheit noch viel größer. Außerdem haben wir dies fünfmal gemacht und daraus den Mittelwert durch fünf geteilt. Zum stoppen der Zeit haben wir die Akustische Stoppuhr von phyphox genutzt. Für alle Messungen haben wir einen Auslenkungswinkel von 15° bestimmt. Diesen haben wir mit einem Geodreieck gemessen.\\ 
 +Das Trägheitsmoment haben wir mit der Folgenden Formel berechnet:\\ 
 \\ \\
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Line 299: Line 307:
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-$T=2π·\sqrt{I}{D_R}$|(...)^2|+$T=2π·\sqrt{\frac{I}{D_R}}$
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- +;#; 
-FORMELN\\ +$T^2=4π^2·\frac{I}{D_R}$ 
- +;#; 
- +;#; 
-Für die DVD-Schachtel egaben sich folgende Messwerte: +$D_R=4π^2·\frac{I}{T^2}$ 
 +;#; 
 +;#; 
 +$\frac{π}{2}·\frac{G·r^4}{l}=4π^2·\frac{I}{T^2}$ 
 +;#; 
 +;#; 
 +$\frac{G·r^4}{l}=8π·\frac{I}{T^2}$ 
 +;#; 
 +;#; 
 +$I=\frac{T^2}{8π}·\frac{G·r^4}{l}$ 
 +;#; 
 +\\ 
 +Für die Bestimmung der Periodendauer T hab ich drei Gegenstände benutzt. Die Gitarrensaite habe ich an einer frei hängenden Lampe befestigt (siehe Foto). Die Länge betrug dabei $l=0,63 ~m$. Den Radius der genutzten Saite haben wir auf $r = (0,00015\pm 0,00005)~ m$ angenommen (Gitarrensaite hat laut Wikipedia etwa 0.012 Zoll) . Für das Torsionsmodul haben wir mit dem Literaturwert von $G=79,5 ~GPa$ gerechnet, um weitere Fehler zu vermeiden.\\ 
 +Damit die Perdiodendauer genauer ist, haben wir unsere Reaktionszeit gemessen und diese von der Periodendauer abgezogen. Die gemittelte Reaktionszeit betrug $<T>=0,33855~ s$. Diese ist beim berechneten Trägheitmoment bereits berücksichtigt. Die Länge des Drahtes war konstant bei $l = (63,00 \pm 0,05)~cm$. Die Unsicherheit der Schwingungsdauer wurde jeweils mit dem Standardfehler bestimmt.\\ 
 +Für die DVD-Schachtel ergaben sich folgende Messwerte:\\ 
 ^ T in s (für 5 Perioden) ^ T in s (für eine Periode) | ^ T in s (für 5 Perioden) ^ T in s (für eine Periode) |
 | 7,779                   | 1,5558                    | | 7,779                   | 1,5558                    |
 | 8,051                   | 1,6102                    | | 8,051                   | 1,6102                    |
-| 8,028                   | 1,6056                    | +| 8,028                   | 1,6056                    |
 | 8,089                   | 1,6178                    | | 8,089                   | 1,6178                    |
 | 7,541                   | 1,5082                    | | 7,541                   | 1,5082                    |
  
-Es ergibt sich eine Periodendauer von <T><sub>1</sub> = 1,57952 s.\\ +Es ergibt sich eine Periodendauer von $<T>_{1} = 1,24097 ~s$.\\ 
-Die DVD-Schachtel hat eine Masse von m<sub>1</sub> = 0,155 kg.\\ +Die DVD-Schachtel hat eine Masse von $m_{1} = 0,155 ~kg$.\\ 
-Die Länge der Gitarrensaite an der Lampe montiert beträgt l = 0,63 m. Für den Radius der Gitarrensaite habe ich 0,0002 m angenommen.\\ +Die Unsicherheit der Schwingungsdauer beträgt $u(T) = 0,02~s$.  
-Für G nehmen wir einen Literaturwert von G = 7,95*10^10 Pa an.\\ +\\ 
-Damit haben wir ein Trägheitsmoment von\\ +Damit haben wir für die DVD-Schachtel ein Trägheitsmoment von\\ 
-I<sub>1</sub> = 2,00427*10^-5 $kg*m^2$\\+$I_{1} = 1,8361\cdot 10^{-5}~kg·m^2$.\\
  
-Die zweite Messung habe ich mit einer Aludose durchgeführt. Dabei ergaben sich folgende Messwerte:\\+Die zweite Messung haben wir mit einer Aludose durchgeführt. Dabei ergaben sich folgende Messwerte:\\
 ^ T in s (für 5 Perdioden) ^ T in s (für eine Periode) | ^ T in s (für 5 Perdioden) ^ T in s (für eine Periode) |
 | 8,232                    | 1,6464                    | | 8,232                    | 1,6464                    |
Line 328: Line 350:
 | 7,998                    | 1,5996                    | | 7,998                    | 1,5996                    |
  
-Daraus ergibt sich eine Periodendauer von <T><sub>2</sub> = 1,6072 s.\\ +Daraus ergibt sich eine Periodendauer von $<T>_{2} = 1,26865 ~s$.\\ 
-Auch hier berug die Länge der Gitarrensaite l = 0,63 m.\\ +Die Dose hatte eine Masse von $m_{2} = 0,045 ~kg$.\\ 
-Die Dose hatte eine Masse von m = 0,045 kg.\\ +Die Unsicherheit ist hier $u(T) = 0,0101 ~s$.  
-Damit haben wir ein Trägheitsmoment von\\ +\\ 
-I<sub>2</sub> = 2,07514*10^-5 $kg*m^2$\\+Damit haben wir für die Aludose ein Trägheitsmoment von\\ 
 +$I_{2} = 1,904\cdot 10^{-5}~kg·m^2$\\
  
-Die letzte Messung habe ich mit einer mit Wasser gefüllten Christbaumkugel durchgeführt. Dabei ergaben sich folgende Messwerte:+Die letzte Messung haben wir mit einer mit Wasser gefüllten Christbaumkugel durchgeführt. Dabei ergaben sich folgende Messwerte:
 ^ T in s (für 5 Perdioden) ^ T in s (für eine Periode) | ^ T in s (für 5 Perdioden) ^ T in s (für eine Periode) |
 | 7,968                    | 1,5936                    | | 7,968                    | 1,5936                    |
Line 342: Line 365:
 | 8,094                    | 1,6188                    | | 8,094                    | 1,6188                    |
  
-Daraus ergibt sich eine Perdiodendauer von <T><sub>3</sub> = 1,593996 s.\\ +Daraus ergibt sich eine Perdiodendauer von $<T>_{3} = 1,25541 ~s$.\\ 
-Auch hier ist hat die Gitarrensaite eine Länge von l = 0,63 m.\\ +Die Masse beträgt $m_{3} = 0,092 ~kg$. \\ 
-Die Masse beträgt m<sub>3</sub> = 0,092 kg. \\ +Die Unsicherheit ist hier $u(T) = 0,008 ~s $. 
-Wir berechen ein Trägheitsmoment von I<sub>3</sub> = 2,04109*10^-5.\\+\\ 
 +Wir berechnen für die Christbaumkugel ein Trägheitsmoment von $I_{3} = 1,8714\cdot 10^{-5}~kg·m^2$. 
 + 
 +== Messunsicherheit des Trägheitsmoments == 
 + 
 +Die Unsicherheit des Trägheitsmoments lässt sich wie folgt mit der Gaußschen Fehlerfortpflanzung bestimmen:\\ 
 +;#; 
 +$u(I) = \sqrt{(\frac{T\cdot G \cdot r^4}{4\pi\cdot l}\cdot u(T))^2+(\frac{T^2 \cdot G\cdot r^3}{2\pi \cdot l}\cdot u(r))^2+(-\frac{T^2\cdot G\cdot r^4}{8\pi \cdot l^2}\cdot u(l))^2}$ 
 +;#; 
 +Es ergeben sich die Trägheitsmomente  
 +;#; 
 +$I_{1}= (0,000018\pm 0,000007) ~kgm^2$, 
 +;#; 
 +;#; 
 +$I_{1}= (0,000019\pm 0,000008) ~kgm^2$, 
 +;#; 
 +;#; 
 +$I_{1}= (0,000019\pm 0,000008) ~kgm^2$. 
 +;#; 
 + 
 + 
 ====== Messunsicherheiten ====== ====== Messunsicherheiten ======
  
-=== Schrecksekunde ===+=== Schrecksekunde für Experiment 1===
 Die Schrecksekunde ist eine Unsicherheit bei der Messung von Zeit mit einer Stoppuhr. Hier wird die Schrecksekunde durch ein Reaktionszeit-Test ermittelt. Dort wird die eigene Reaktionszeit ermittelt, die man hat, wenn ein Ereignis eintritt und man darauf reagieren muss. \\ Die Schrecksekunde ist eine Unsicherheit bei der Messung von Zeit mit einer Stoppuhr. Hier wird die Schrecksekunde durch ein Reaktionszeit-Test ermittelt. Dort wird die eigene Reaktionszeit ermittelt, die man hat, wenn ein Ereignis eintritt und man darauf reagieren muss. \\
 Nach 20 Messungen wurde ein Mittelwert von $0,291~s$ ermittelt, die von jeder Messung abgezogen wird.  Nach 20 Messungen wurde ein Mittelwert von $0,291~s$ ermittelt, die von jeder Messung abgezogen wird.