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-===== Vorüberlegungen =====
+===== Theoretische Betrachtung =====
-Die Kippbewegung hängt von einigen physikalischen Größen ab. Um diese Zusammenhänge zu verstehen beschäftigen wir uns hier mit einigen Vorüberlegungen zur Bewegung des Besenstiels anhand der in der Versuchsanleitung gestellten Fragen.
-=== Beschreiben Sie die Kippbewegung mithilfe physikalischer Begriffe. ===
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-Solange sich ein Körper in seiner Gleichgewichtsposition nicht bewegt, spricht man von einem statischen Gleichgewicht. Wenn der Körper ungestört bleibt, ist die Summe aller auf ihn wirkenden Kräften und Drehmomente gleich null und somit erfährt dieser keine Translations- oder Rotationsbeschleunigung.
+Diese Überlegungen dienen einer ersten theoretischen Auseinandersetzung mit dem Thema und sind somit Basis für die anschließende Durchführung und Betrachtung.
-Wenn der Stab bei einem Winkel von $\phi=0^\circ$ (in Betracht auf das Lot des Bodens) ruht, spricht man von einem labilen Gleichgewicht, da jede infenitesimale Veränderung eine Bewegung augrund eines vorhandenen Potentials hervorruft. Im Falle unseres Beispiels, eines kippenden Besenstiels, handelt es sich um das Potential der Gravitationskraft.
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-<imgcaption image1|Labiles Gleichgewicht eines Bleistifts  [Gia09, S. 417]>{{   :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:stifta.png?nolink&150  }}</imgcaption>
-<imgcaption image2|Auslenkung aus der Gleichgewichtslage [Gia09, S. 417]>{{   :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:stiftb.png?nolink&150  }}</imgcaption>
+=== Aufgabe: Berechnen Sie aus der Kreisfrequenz die Schwingungsdauer T. ===
-###
-Wenn sich der Schwerpunkt des Gegenstands in seiner Grundfläche befindet spricht man somit von einem labilen Gleichgewicht. In diesem Zustand wird die Gewichtskraft des Stiftes durch die gleich große, aber entgegengestzte Normalkraft des Tisches ausgeglichen. Sobald der Gegenstand jedoch etwas aus seiner Ruhelage ausgelenkt wird, befindet sich sein Schwerpunkt nicht mehr im Bereich der Grundfläche und somit bewirkt die Gewichtskraft einen Drehmoment auf das jeweilige Objekt. Somit gelangen wir zur Definition eines Drehmomentes:
-###
 \begin{align}
-    \Vec{M}=\Vec{r}\times \Vec{F}=r\cdot F \cdot sin(\alpha)=\frac{d\Vec{L}}{dt}=I\cdot \alpha
+\omega&=\frac{2\,\pi}{T}=2\,\pi\,f\\
-    \label{eq:Drehmoment}
+T&=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\,\sqrt{\frac{I}{D_{R}}}
 \end{align}
+ mit $D_R=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{G\cdot r^4}{L}$ folgt:
-Im labilen Gleichgewicht ist das Drehmoment $\Vec{M}=\Vec{r}\times \Vec{F}=0$ da $\Vec{r}\parallel \Vec{F}$, da es sich hier um eine Rotationsbewegung handelt, gilt die allgemeine Bewegungsgleichung:
 \begin{align}
-    \varphi=\varphi_{0}+\omega\cdot t+\frac{1}{2}\,\alpha\cdot t^2
+T&=2\cdot \pi \sqrt{\frac{2\cdot I \cdot L}{\pi \cdot G \cdot r^4}}  = \sqrt{\frac{8\cdot I \cdot L \cdot \pi}{G\cdot r^4}}= \frac{2\cdot \pi}{r^2}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot I \cdot L}{\pi \cdot G}}\label{eqn:T}
-    \label{eq:bewegungsgleichung}
 \end{align}
+=== 1. Welche Anfangsbedingungen führen auf die Lösung $\varphi(t)=\varphi_{0}\,cos(\omega\,t);\omega=\sqrt{\frac{D_{R}}{I}}$? ===
-=== Vernachlässigt man die Luftreibung, so hängt bei gleicher Stablänge die KippzeitT nicht von der Stabmasse m ab. ===
+\begin{align}
+I\cdot \ddot{\varphi}&=-D_R\cdot \varphi \Longleftrightarrow \ddot{\varphi}+\frac{D_R}{I}\cdot \varphi =0 \label{eqn:BWGL2}
+\end{align}
+Zum Lösen der relevanten Bewegungsgleichung wird der trigonometrische Ansatz mit der Konstanten C ausgewählt.
+\begin{align}
+\text{Ansatz:}\, \,\,\,\varphi(t)&=C\cdot cos(\omega\cdot t) \label{eqn:Ansatz} \\
+\ddot{\varphi}(t)&=-C\cdot \omega^2 \cdot cos(\omega\cdot t)
+\end{align}
 ###
-Zum Verständnis dieser Aussage wird das, in der Regel bekannte, Experiment zum freien Fall einer Feder und eines Steines mit unterschiedlichen Massen betrachtet. Werden Feder und Stein im Umgebungsmedium Luft gleichzeitig fallen gelassen, trifft der Stein vor der Feder auf den Boden auf. Wird dieses Experiment jedoch im Vakuum, d.h. ohne Luftreibung durchgeführt, kann ein gleichzeitiges Auftreffen des Steines und der Feder beobachtet werden. Dieses lässt darauf schließen, dass im freien Fall diese Masse für die Fallzeit nicht relvant ist, wenn die Luftreibung vernachlässigt werden kann. Dieses Ergebnis kann auf den in der Aussage betrachteten Versuch übertragen werden, da durch andere, die Kippzeit betreffende Variablen, wie das durch die Stablänge variierende Moment nicht verändert werden.
+Dieser wird in die Bewegungsgleichung eingesetzt und somit der Zusammenhang für $\omega$ dargestellt. Zu Beachten ist dabei, dass $\omega$ an dieser Stelle nicht die übliche Winkelgeschwindigkeit der Rotation, sondern die Winkelgeschwindigkeit der Pendelbewegung beschreibt [Mes15, S. 86].
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-=== Alltägliche Erfahrung: Je kleiner der Anfangswinkel ist, desto größer ist die Kippzeit T. ===
-Wenn wir die Beweungsgleichung betrachten und Annehmen, dass wir das Objekt ohne Anfangsgeschwindigkeit fallen lassen ergibt sich folgende Gleichung:
 \begin{align}
-     \varphi&=\varphi_{0}+\frac{1}{2}\,\alpha\cdot t^2\\
+\text{Einsetzen:}\, \,\,\, -C\cdot \omega^2 \cdot cos(\omega\cdot t)+\frac{D_R}{I}\cdot C \cdot cos(\omega\cdot t) &= 0 \Longleftrightarrow \omega=\sqrt{\frac{D_R}{I}}
-     T&=t= \sqrt{\frac{2 (\varphi-\varphi_{0})}{\alpha}}
-     \label{eq:kippzeit}
 \end{align}
+Um die Konstante C zu bestimmen, müssen zudem Anfangsbedingungen gesetzt werden:
+\begin{align}
+\varphi(t=0)&=\varphi_0
+\end{align}
+Damit folgt durch Einsetzen die gegebenen Bewegungsgleichung.
+\begin{align}
+\varphi(t)&=\varphi_0\cdot cos(\omega\cdot t)
+\end{align}
+=== 2. In welchen Einheiten werden D, $D_R$, I, $\varphi$ gemessen? ===
-###
-Anhand der Gleichung zur Kippzeit sehen wir: Je kleiner der Anfangswinkel $\varphi_{0}$, desto länger die Kippzeit T und somit bestätigt sich unsere alltägliche Erfahrung.
-###
+^ Formelzeichen ^ Bezeichnung ^ Einheit ^ Analoge Bezeichnung ^
+|D|Drehmoment|$N\cdot m$|M|
+|$\varphi$|Winkel|rad|/|
+|I|Trägheitsmoment|$kg\cdot m^2$|J|
+|$D_R$|Winkelrichtgröße, Direktionsmoment|$\frac{N\cdot m}{rad}$|D|
+|G|Schubmodul, Torsionsmodul|$\frac{N}{m^2}$|/|
+|L|Länge des Drahtes|m|/|
+|r|Radius des Drahtes|m|/|
-=== Welchen Einfluss hat die Stablänge? ===
-###
-Als erstes Betrachten wir den Kippprozess per Energieerhaltung: Vorm Fallenlassen besitzt der Stab ausschließlich Potentielle Energie (wobei die Höhe des Mittelpunkts/ Schwepunkts zur Berechnung genommen wird) und beim Aufprall nur noch Kinetische bzw Rotationsenergie:
-###
+=== 3. Setzen Sie Gl. (3) in Gl.(2) ein und beweisen Sie damit die Beziehung für $\omega$.  ===
 \begin{align}
-    E_{Pot}&=E_{Kin} \label{eq:energieerhaltunggrob}\\
+\varphi(t)&=\varphi_0 \cdot cos(\omega \cdot t) \label{eqn: phi1}\\
-    m\,g\,\frac{L}{2}\,cos(\alpha)&=\frac{1}{2}\,I_{neu}\,\omega^2
+\ddot{\varphi}(t)&= -\varphi_0 \cdot \omega^2 \cdot cos(\omega \cdot t) \label{eqn: phipunktpunkt}
-    \label{eq:energieerhaltung}
 \end{align}
-Nun bestimmen wir das Trägheitsmoment $I_{neu}$ per Satz von Steiner, wobei $I_{s}=\frac{1}{12}\,m\,L^2$ das Trägheitsmoment für einen Stab ist.
+Um den gegebenen Zusammenhang für $\omega$ zu beweisen, werden Gleichung $\varphi(t)$ und $\ddot{\varphi}(t)$ in die Bewegungsgleichung eingesetzt.
 \begin{align}
-    I_{neu}&=I_{s}+m\,d^2\\
+I\cdot \ddot{\varphi}(t)&=-D_R\cdot \varphi(t)  \label{eqn:BWGL}\\
-    I_{neu}&=\frac{1}{12}\,m\,L^2+\frac{3}{12}\,m\,L^2=\frac{1}{3}\,m\,L^2
+- I\cdot \varphi_0 \cdot \omega^2 \cdot cos(\omega \cdot t) &= -D_R\cdot \varphi_0 \cdot cos(\omega \cdot t)
 \end{align}
-Setzen wir dies nun in Gleichung der Energieerhaltung ein erhalten wir:
+Durch Umformung folgt:
 \begin{align}
-     m\,g\,\frac{L}{2}\,cos(\alpha)&=\frac{1}{2}\,(\frac{1}{3}\,m\,L^2)\,\omega^2\\
+\omega^2&= \frac{D_R}{I} \Longleftrightarrow \omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}}
-     \omega&=\sqrt{\frac{3\,g\,cos(\alpha)}{L}}
-     \label{winkelgeschwindigkeit}
 \end{align}
-###
-Wenn wir nun die Winkelgeschwindigkeit betrachten, erkennen wir, dass $w \sim \frac{1}{\sqrt{L}}$ ist. Je größer die Länge des Stabs, desto geringer seine Winkelgeschwindigkeit beim Aufprall auf den Boden. Wenn die Winkelgeschwindigkeit am Ende geringer ist, muss folglich der Stab auch langsamer fallen. Somit erhöht sich auch die Fallzeit in Abhängigkeit der Stablänge.
+Der gegebene Zusammenhang kann somit nachgewiesen werden.
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+=== 4. Wie kann man ein Drehmoment experimentell bestimmen?  ===
-=== Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglierenmöglichst leicht gelingt? ===
-###
-Es sollte sich um einen langen Stab handeln, da sich bei diesem die Winkelgeschwindigkeit langsamer verändert und somit mehr Zeit für Korrekturen des Stabes möglich ist. In diesem Versuch haben wir größtenteils die Luftreibung vernachlässigt, jedoch besitzt ein leichter Stab weniger Gewicht bei gleicher Oberfläche und erfährt somit mehr Luftreibung, welche seine Winkelgeschwindigkeit verringert. Außerdem erkennen wir anhand von Gleichung zur Energieerhaltung, dass $\omega\,\sim\,\sqrt{\frac{1}{I_{neu}}}$. Indem wir das Trägheitsmoment erhöhen, können wir die Winkelgeschwindigkeit bzw die Veränderung der Ortes des Stabes verringern. Eine einfache Faustregel ist: Je weiter die Masse vom Drehzentrum weg zentriert ist, desto höher das Drehmoment.
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+Zur Bestimmung des Moments im Allgemeinen werden an dieser Stelle zwei Varianten aufgeführt. Die erste äußert sich durch das Messen der Kraft mit einer Federwaage oder dem Bestimmen der Masse mit anschließender Berechnung der Gewichtskraft. Ist dabei der Abstand r der Masse m zur Aufhängung, also die Länge des Hebelarms bekannt, kann über den Zusammenhang $D=r\cdot F$ der Betrag des Drehmoments berechnet werden. Da allerdings das Drehmoment eine vektorielle Größe ist ($\Vec{D}=\Vec{r}\times \Vec{F}$), müssen bei dieser Betrachtungsweise entweder die Kraft und der Abstand orthogonal zueinander sein oder die resultierende Kraft bzw. Abstand  über trigonometrische Beziehungen berechnet werden.
+Eine weitere Variante stellt die Bestimmung des Moments über die Pendeldauer T dar, was teils in diesem Versuch Anwendung findet. Ist die Periodendauer messbar, sowie das Trägheitsmoment I, die Länge des Drahtes L und der Radius des Drahtes r bekannt, kann das Schubmodul G anhand von der obenen benannten Formel für die Periodendauer bestimmt und mit folgender Gleichung das Moment bezüglich eines Drehwinkels $\varphi$ festgestellt werden  [TMK19, S. 364–365].
+\begin{align}
+D&=\frac{\pi \cdot G \cdot \varphi \cdot r^4}{2\cdot L} \label{eqn:DundG}
+\end{align}
+=== 5. Auf das System wirke ein Drehmoment D. Wie groß ist die Arbeit dW, wenn das System um $d \varphi$ gedreht wird? Welche Änderung an Rotationsenergie entspricht dem? Benutzen Sie den Energiesatz, um mit diesen Beziehungen die Gl.(2) zu zeigen. ===
-=====  Experimentelle Betrachtung der Kippzeit (Messungen) =====
-==== Versuchsaufbau ====
+In einem ersten Schritt wird die Energie der Rotationsbewegung in Analogie zur Translationsbewegung betrachtet.
+^ ^ translatorisch ^ rotatorisch ^
+|Arbeit/Energie|$dW=F\cdot ds$|$dW=D\cdot d\varphi$ [TMK19, S. 314]|
+|kinetische Energie|$E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2$|$E_{rot}=\frac{1}{2}\cdot I\cdot \dot{\varphi}^2$ [TMK19, S. 296]|
-<imgcaption image3|Realer Versuchsaufbau im Freien (Besenlänge von 120 cm)>{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:aufbau_real.jpg?nolink&400|}}</imgcaption>
-**Aufbau:**
+Mit dieser Auflistung und der folgenden Berechnung kann der Zusammenhang $I\cdot \ddot{\varphi}=-D_R \cdot \varphi$ bewiesen werden:
-  * Anbringen einer horinzontal ausgerichteten Wasserwaage bei verschiedenen Höhen $h_{Waage}$
+\begin{align}
-    * Einstellen des Anfangswinkels über diese Höhe (Nutzung trigonometrischer Funktionen)
+dW&=dE_{rot}\\
+D\cdot d\varphi &= \frac{1}{2}\cdot I\cdot d \dot{\varphi}^2  \,\,\,\,\,\,\,\,|\cdot \frac{1}{dt} \\
+D\cdot \frac{d\varphi}{dt}&=\frac{1}{2}\cdot I\cdot \frac{d (\dot{\varphi}^2)}{dt} \\
+D\cdot \dot{\varphi}&= \frac{1}{2}\cdot I\cdot 2 \cdot \dot{\varphi} \cdot \frac{d\dot{\varphi}}{dt}\\
+D\cdot \dot{\varphi}&= \frac{1}{2}\cdot I\cdot 2 \cdot \dot{\varphi} \cdot \ddot{\varphi}\\
+D&=I\cdot \ddot{\varphi}
+\end{align}
-\begin{align}\phi_0=\arccos(\frac{h_{Waage}}{l_{Besen}})\end{align}
+Mit $D=-D_R \cdot \varphi$ folgt:
-<imgcaption image4|Skizzierter Versuchsaufbau zur Erklärung der Anfangsauslenkung>{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:schema_aufbau.png?nolink&300 |}}</imgcaption>
+\begin{align}
-  * Ansetzen der Schaumstofffläche des Haushaltsbesens anhand einer gleichbleibenden Linie auf dem Boden in allen Versuchsdurchgängen
+I\cdot \ddot{\varphi} &= -D_R \cdot \varphi
-  * Anheben des Stabendes auf Höhe der Wasserwaage und manuelles fallenlassen
+\end{align}
-**Art der Zeitmessung:**
-  * Messung der Zeit mit der akustischen Stoppuhr von Phyphox
-    * Geben eines manuellen akustischen Signals durch die durchführende Person zum Start der Messung bei gleichzeitigem Fallenlassen des Stabes (Einfluss der Reaktionszeit beachten!)
-    * Stoppen der Zeitmessung durch das akustische Signal beim Auftreffen des Besenstiels auf dem Boden ($\phi=\frac{\pi}{2}$)
-  * Positionierung des Smartphone mittig zwischen den akustischen Signalen (Einfluss der Schallgeschwindigkeit vermindern)
-**Variationen:**
+=== 6. Wie lautet der Steinersche Satz? ===
-  * Änderung von...
-^ ...Besenlänge  ^ ...Masse  ^ ...Oberfläche^
-|<imgcaption image5|Versuchsaufbau mit einer Besenlänge von 150 cm> {{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:150cm.jpg?nolink&300  }}</imgcaption>|<imgcaption image6|Versuchsaufbau mit variierender Masse>  {{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:rohr_papier_2.jpg?nolink&300  }}</imgcaption>|<imgcaption image7|Versuchsaufbau mit variierender Oberfläche>  {{   :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe322:t_papier.jpg?nolink&300}}</imgcaption>|
+###
+Wenn das Trägheitsmoment $I_S$ eines Körpers der Masse m bezüglich der Achse durch seinen Schwerpunkt bzw. durch eine seiner Hauptträgheitsachsen bekannt ist, kann das Trägheitsmoment $I_B$ bezüglich einer zur dieser parallelen Achse mithilfe des folgenden Zusammenhangs mit dem senkrechten Abstand $r_{\perp}$ der beiden Achsen berechnet werden. Da in diesem Versuch die Aufhängung im Schwerpunkt erfolgt, sodass eine Hauptträgheitsachse entlang der Saite verläuft, hat der Satz für das Experiment wenig Relevanz.
+###
-==== Systematische Unsicherheit der Zeitmessung ====
-=== M1:Bestimmung der Schrecksekunde ===
+\begin{align}
+I_B&=I_S+m\cdot r_{\perp}^2 \label{eqn:Steiner}
+\end{align}
-###
-Zur Berücksichtigung der Reaktionszeit der durchführenden Person beim Fallenlassen des Stabes und Geben des akustischen Signals zum Starten der akustischen Stoppuhr, stoppt diese Person die "normale" Stoppuhr des Smartphones möglichst genau auf 5 Sekunden.
-###
+===== Messung der Periodendauer zur Bestimmung des Torsionsmodul G =====
+=== Darstellung des Versuchsaufbaus und der Durchführung ===
-Es ergaben sich folgende Messdaten:
+<imgcaption image1|Darstellung des Versuchsaufbaus>{{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:stangenaufbau.jpg?direct&200 |}}</imgcaption>
-^Durchgang ^ 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ 5 ^6^ 7 ^ 8 ^ 9^ 10 ^
-^ Zeit [s]      | 5,15      | 5,16       | 4,97       | 5,01       | 4,92 | 5,09       | 5,18      | 5,01      | 4,92       | 5,01       |
-^ Abweichung $\Delta t_i$ [s] | 0,15       | 0,16       | 0,03       | 0,01       | 0,08    | 0,09       | 0,18       | 0,01      | 0,08       | 0,01    |
-==== Einfluss der Luftreibung ====
-=== M2:Variation der Masse ===
+###
+Zur Messung der Periodendauer wurde eine Kleiderstange zu Hilfe genommen, die derart hoch eingestellt wurde, dass das Drehpendel frei schwingen/tordieren konnte. Anschließend wurde das jeweilige Torsionsmaterial (z.B. Gitarrensaite) um diese Stange gewickelt und durch Verdrillung befestigt. An das Ende dieses Material wurde folglich der jeweilige Körper (Stab, Telefon, Schuh) angehängt und die Periodendauer für eine Periode bei einer Anfangsauslenkung $\frac{\pi}{2}$ gemessen. Die Messdaten sind in den folgenden Unterkapitel dargestellt.
+###
+<imgcaption image1|Messung des Gewichts der Stange>{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:stangengewicht.jpg?direct&200 |}}</imgcaption>
-^  Massen  ^^  Längen  ^
+**Messung der Daten des Stabes:**
-|\begin{align}m_{Papierrolle}=(189\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(120\pm 0,5)cm \end{align}|
+^  Stab  ^^^
-|\begin{align}m_{Rohr+Papierrolle}=(496\pm 1)g\end{align}||\begin{align}h_{Waage}=(110\pm 0,5)cm \end{align}|
+^  Masse  ^  Länge  ^  Radius ^
+|\begin{align}m_{Stab}=(88\pm 1)g \end{align}|\begin{align}l_{Stab}=(40\pm 0,1)cm \end{align}|\begin{align}r_{Stab}=(0,3\pm 0,1)cm \end{align} |
+=== M1: Messung mit der Gitarrensaite als Aufhängung ===
-^Durchgang ^  Kippzeit t in s  ^^
+**Messung der Dicke der Gitarrensaiten:**
-^  ^ mit Papierrolle ^ mit Rohr und Papierrolle ^
+<imgcaption image2|Messung der sechsfachen Drahtdicke der Gitarrensaite >{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:dickedraht.jpg?direct&200|}}</imgcaption>
-|1         | 0,58            | 0,623                    |
-|2         | 0,624           | 0,649                    |
-|3         | 0,61            | 0,656                    |
-|4         | 0,607           | 0,684                    |
-|5         | 0,604           | 0,63                     |
-=== M3:Variation der Oberfläche ===
-^  Massen  ^^  Längen  ^
+\begin{align}
-|\begin{align}m_{Rohr+Papierrolle}=(496\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(120\pm 0,5)cm \end{align}|
+d_{Gitarrensaiten_6}=(0,25\pm 0,1)cm
-|\begin{align}m_{T-Papier}=(503\pm 1)g\end{align}||\begin{align}h_{Waage}=(110\pm 0,5)cm \end{align}|
+\end{align}
+**Messung einer Periodendauer:**
+^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^
+^$84,4\pm 0,1$       | 12,24    | 13,31      | 12,77       | 13,15       |   12,83     |
+^$75,3\pm 0,1$       | 12,35      | 12,29      | 12,24      | 12,03       |   12,67     |
+^$65,9\pm 0,1$       | 11,73      | 11,54      | 11,68      | 11,35       |    11,82    |
+^$58,3\pm 0,1$       | 10,53     | 10,79      | 10,31      | 10,66     |  10,73      |
+^$50,4\pm 0,1$       | 10,47      | 10,15      | 10,35       | 10,39      |    10,21    |
-^ Durchgang ^  Kippzeit t in s  ^^
+=== M2: Messung mit dem Gummiseil als Aufhängung ===
-^                   ^ mit Rohr und Papierrolle ^ mit 4 Rollen Toilettenpapier ^
-|1         | 0,623| 0,645|
-|2         | 0,649| 0,658|
-|3         | 0,656| 0,644|
-|4         | 0,684| 0,641|
-|5        | 0,63| 0,652|
-==== Kippzeit bei Variation der Besenlängen ====
+**Messung der Dicke des Gummiseils:**
-=== M4: Besenlänge von 120 cm ===
+<imgcaption image3|Messung der sechsfachen Drahtdicke des Seils >{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:dickseil.jpeg?direct&200|}}</imgcaption>
-^  Masse  ^^  Länge  ^
+\begin{align}
-|\begin{align}m_{Besen}=(489\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(120\pm 0,5)cm \end{align}|
+d_{Gummiseile_6}=(1,2\pm 0,1)cm
+\end{align}
-^ ^  Kippzeit $t_i$ im Durchgang i  ^^^^^
+**Messung einer Periodendauer:**
-^$h_{Waage}$ ^ $t_1$ [s] ^ $t_2$ [s] ^ $t_3$ [s] ^ $t_4$ [s] ^ $t_5$ [s]^
+^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^
-|120|1,321|1,396|1,42|1,303|1,245|
+^$24,3\pm 0,1$       | 29,37    | 29,01      | 29,51      | 28,6      |   28,9    |
-|119|0,856|0,888|0,811|0,809|0,75|
-|118|0,7|0,757|0,723|0,623|0,664|
-|116|0,631|0,583|0,692|0,706|0,633|
-|113|0,577|0,585|0,531|0,59|0,528|
-|109|0,521|0,546|0,501|0,513|0,535|
-|104|0,513|0,489|0,515|0,533|0,516|
-|98 |0,471|0,433|0,545|0,481|0,462|
-|92 |0,394|0,414|0,433|0,384|0,41|
-=== M5: Besenlänge von 150 cm ===
-^  Masse  ^^  Länge  ^
-|\begin{align}m_{Besen}=(489\pm 1)g \end{align}||\begin{align}l_{Besen}=(150\pm 0,5)cm \end{align}|
-^ ^  Kippzeit $t_i$ im Durchgang i  ^^^^^
+===== Messung der Periodendauer zur Bestimmung des Trägheitsmomentes =====
-^$h_{Waage}$ ^ $t_1$ [s] ^ $t_2$ [s] ^ $t_3$ [s] ^ $t_4$ [s] ^ $t_5$ [s]^
+=== Darstellung des Versuchsaufbaus und der Durchführung ===
-|150|1,642|1,8|1,818|1,765|1,74  |
-|149|0,849|0,857|0,854|0,905|0,859 |
-|147|0,809|0,818|0,765|0,776|0,784 |
-|145|0,77|0,78|0,726|0,754|0,759 |
-|141|0,684|0,694|0,706|0,734|0,727 |
-|136|0,643|0,636|0,66|0,647|0,664 |
-|130|0,605|0,638|0,642|0,598|0,656 |
-|123|0,562|0,552|0,554|0,523|0,599 |
-|115|0,501|0,512|0,525|0,507|0,515 |
+###
+Anstatt des Stabes werden in den weiteren zwei Versuchen zwei unterschiedliche Körper verwendet. Als Torsionsmaterial wird abermals die //Gitarrensaite// verwendet.
+###
-=====  Theoretische Betrachtung mit dem Zeitschrittverfahren (Programm) =====
-<code python Zeitschrittverfahren>
-import numpy as np
+=== M3: Messung mit einem Telefon als angehängter Körper ===
-import matplotlib.pyplot as plt
+<imgcaption image4|Aufhängung des Körpers Telefon>{{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:telefon.jpg?direct&200 |}}</imgcaption>
-def phi(t,deltat,l,g,startwinkel):
+^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^
-    '''Als erstes definieren wir die Konstante Tau und erstellen ein
+^$35,2\pm 0,1$       | 9,45   | 9,13     | 9,02      | 9,05      |   9,3    |
-    array, in welchem wir unsere numerischen Werte speichern. Hierbei
-    beschreibt len(t) die Anzahl der Elemente im jeweiligen Array'''
-    tau = np.sqrt(2*l/(3*g))
-    phiarray = np.zeros(len(t))
-    '''Nun der erste Schritt für das Zeitschrittverfahren. Die Winkelbeschl. ist
-    durch die jeweilige Funktion im Skript gegeben. Hierbei gehen wir von einer
-    Anfangswinkelgeschw.=0.'''
-    winkelbeschleunigung = np.sin(startwinkel)/tau**2
-    winkelgeschwindigkeit = 0
-    phi = startwinkel
-    phiarray[0] = np.pi/2 - phi
-    '''Nun definieren wir eine Schleife, welche die jeweiligen Werte berechnet und
-    eine Termination der Schleife bewirkt, wenn der Winkel über pi/2 (90Grad) fällt.
-    Die jeweilige Prozedur übernehmen wir schlichtweg aus dem Skript.'''
-    for i in range(len(t)-1):
-        winkelgeschwindigkeit = winkelgeschwindigkeit + deltat*winkelbeschleunigung
-        phi = phi + deltat*winkelgeschwindigkeit
-        winkelbeschleunigung = np.sin(phi)/tau**2
-        phiarray[i+1] = np.pi/2 - phi
-        if(phi > np.pi/2):
-            phiarray[i+1] = 0
-    return phiarray
+=== M4: Messung mit einem Schuh als angehängter Körper ===
-    ''' Danach definieren wir einen Endzeitpunkt, welcher eintritt, sobald im Array
-        das erste Element mit einer 0 gefunden wird.
-        Falls die der Endzeitpunkt nicht im Intervall bis tmax liegt, erhält man
-        die Fehlermeldung -1000.'''
-def t_Aufprall(t,phi):
-    for i in range(len(t)):
-        if(phi[i] == 0):
-            return(t[i])
-    return(-1000)
-def main():
-    '''Definieren der Konstanten und des Zeitschrittverfahrens:
-        Der startwinkel wird in rad angegeben, somit ist die Umrechnung
-        Pi/360Grad notwendig. Delta(t) gibt die Zeitschritte an, in welchen
-        die Prozedur vollzogen werden soll. Je kleiner die Zeitschritt, desto
-        genauer auch das Ergebnis'''
-    l = 1.45
-    startwinkel = 0.25
-    tmin = 0
-    tmax = 1.2
-    deltat = 0.00001
-    g = 9.81
-    t = np.linspace(tmin,tmax,int((tmax - tmin)/deltat))
-    plt.plot(t,phi(t,deltat,l,g,startwinkel))
-    plt.ylabel('Fallwinkel [rad]')
-    plt.xlabel('t [s]')
-    plt.grid(True)
-    plt.show()
-    print('t_Aufprall =',t_Aufprall(t,phi(t,deltat,l,g,startwinkel)),'s')
-if __name__=="__main__":
-    main()
-    </code>
+<imgcaption image4|Aufhängung des Körpers Schuh>{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe322:schuh.jpg?direct&200 |}}</imgcaption>
+^ Länge L [cm]    ^ $T_1$ [s]      ^ $T_2$ [s]       ^ $T_3$ [s]       ^ $T_4$ [s]        ^ $T_5$ [s]  ^
+^$51,2\pm 0,1$     | 16,08   | 15,86     | 16,15      | 16,04     |   16,02   |
 ===== Literatur =====
-| [Gia09]  | Douglas C. Giancoli.Physik:  Lehr-  un Übungsbuch. 3., erw. Aufl. Pearson Studium  -  Physik.  München:  Pearson  Deutschland  und  Pearson  Studium,  2009.ISBN:978386894023                                                                                                           |
+| [Mes15]  | Dieter Meschede, Hrsg.Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer-Lehrbuch. Berlin undHeidelberg: Springer Spektrum, 2015.ISBN: 978-3-662-45977-5|
+|[TMK19]   | Paul A. Tipler, Gene Mosca und Peter Kersten.Physik: Für Studierende der Naturwissenschaften  und  Technik. 8th ed. 2019. ISBN: 978-3-662-58281-7 .doi:10.1007/978-3-662-58281-7|

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