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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:start [21 January 2021 15:08] – [Torsionsmodul des Drahtes] julespourtawafa_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:start [24 June 2024 20:02] (current) – ↷ Links adapted because of a move operation knaak@iqo.uni-hannover.de
Line 4: Line 4:
  
 ====== Einleitung ====== ====== Einleitung ======
- +Auf den folgenden Seiten werden wir unser Vorgehen bei dem Versuch Drehschwingungen dokumentieren. 
 +Dabei liegt besonderer Fokus auf der Vorbereitung und der Versuchsdurchführung, sowie den Messwerten. In dem angefertigten Latex-Dokument werden die umfangreichen Ausführungen, sowie die Plots und Auswertungen zu finden sein.
 ====== Theoretische Grundlagen ====== ====== Theoretische Grundlagen ======
 +Bevor wir mit dem Versuch starten sind einige theoretische Betrachtungen von nöten, die wir im folgen bearbeiten werden.
 ===== Formeln ===== ===== Formeln =====
 In den Berechnungen werden die folgenden Formeln von nöten sein.\\ In den Berechnungen werden die folgenden Formeln von nöten sein.\\
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 mit D: rücktreibendes Drehmoment, $\omega$: Kreisfrequenz, G: Torsionsmodul des Materials, r: Radius des Drahtes, L: Länge des Drahtes mit D: rücktreibendes Drehmoment, $\omega$: Kreisfrequenz, G: Torsionsmodul des Materials, r: Radius des Drahtes, L: Länge des Drahtes
 ===== Aufgaben ===== ===== Aufgaben =====
 +Als nächstes haben wir uns mit einigen theoretischen Fragen beschäftig, welche wir hier im folgenden ausführen werden.
 ==== Fragen ==== ==== Fragen ====
  
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 2.\\  2.\\ 
 $[\phi] = rad$\\ $[\phi] = rad$\\
-$[D_r]  = \frac{N \cdot m}{rad}$\\+$[D_R]  = \frac{N \cdot m}{rad}$\\
 $[D]    = N \cdot m$\\ $[D]    = N \cdot m$\\
 $[I]    = kg \cdot m^2$\\ $[I]    = kg \cdot m^2$\\
  
 3.\\ 3.\\
-$I \cdot \phi_0 \cdot w^2 \cdot cos(wt) = D_r \cdot \phi_0 \cdot cos(wt)$\\ +$I \cdot \phi_0 \cdot w^2 \cdot cos(wt) = D_R \cdot \phi_0 \cdot cos(wt)$\\ 
-$I \cdot w^2 = D_r$\\ +$I \cdot w^2 = D_R$\\ 
-$w^2 = \frac{D_r}{I}$\\ +$w^2 = \frac{D_R}{I}$\\ 
-$w = \sqrt{\frac{D_r}{I}}$+$w = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$
  
  
 4.\\ 4.\\
 Man muss dabei die länge des Hebels und den Winkel der darauf wirkenden Kraft, sowie den Betrag der Kraft messen. Nun kann man nach  Man muss dabei die länge des Hebels und den Winkel der darauf wirkenden Kraft, sowie den Betrag der Kraft messen. Nun kann man nach 
-$D = r \times F$ das Drehmoment berechnen.+$\vec{D} = \vec{r} \times \vec{F}$ das Drehmoment berechnen.
  
 5.\\ 5.\\
 Für die Arbeit gilt:\\ Für die Arbeit gilt:\\
-$W = \int M d\phi$+$dW = D d\phi$\\ 
 +Dies können wir mit der Rotationsenergie zu:\\ 
 +$dW = \frac{1}{2} \cdot I \cdot (d \dot{\phi})^2$\\ 
 +umschreiben. 
 +Folglich gilt:\\ 
 +$dW = D d\phi =\frac{1}{2} \cdot I \cdot (d \dot{\phi})^2$\\ 
 +Daruas können wir nun folgern:\\ 
 +$M = I \cdot \ddot{\phi}$.\\
  
 6.\\ 6.\\
-$J_2 = J_1 + md^2$+$I_2 = I_1 + md^2$
 Das Trägheitsmoment für die Rotation eines Körpers durch eine Achse, welche nicht durch den Schwerpunkt verläuft, kann durch das Trägheitsmoment einer Achse, welche Parallel dazu ist und durch den Schwerpunkt verläuft uns dem Quadrat des Abstandes, sowie der Masse des Körpers berechnet werden. Das Trägheitsmoment für die Rotation eines Körpers durch eine Achse, welche nicht durch den Schwerpunkt verläuft, kann durch das Trägheitsmoment einer Achse, welche Parallel dazu ist und durch den Schwerpunkt verläuft uns dem Quadrat des Abstandes, sowie der Masse des Körpers berechnet werden.
-===== Schwingungsdauer ===== 
- 
  
 ====== Messungen ====== ====== Messungen ======
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 {{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.25.08.jpeg?200|}} {{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.25.08.jpeg?200|}}
-Als erstes beginnen wir mit einer Messung zur Bestimmung des Torsionsmoduls unseres Drahtes. Hierfür nehmen wir einen Draht und hängen eine Stange dran, lenken diesen aus und Messen die Zeit für 5 Schwingungsperioden nach loslassen, um den Messfehler beim Stoppen möglicht einflusslos zu machen.\\ +Als erstes beginnen wir mit einer Messung zur Bestimmung des Torsionsmoduls unseres Drahtes. Hierfür hängen wir eine Gitarrensaite an einen besen auf, lassen den Draht herunter hängen und befestigen an das andere Ende eine kleine Stange. Diese Stange lenken wir nun aus und Messen die Zeit für 5 Schwingungsperioden nach loslassen. 5 Schwingungsperioden anstatt nur eine, um den Messfehler beim Stoppen möglicht gering halten zu können.\\ 
-Wir Variieren dann mit der länge des Drahtes, führen die Messung des weiteren auch mit anderen angehängten Matieralien, Drähten und Drahtlängen durch. \\ +Wir variieren dann die Länge des Drahtes und führen die Messung des weiteren auch mit anderen angehängten Matieralien, Drähten und Drahtlängen durch. \\
-Beispielsweise Verwenden wir einen dünnen Draht mit einem Sieb oder einer Flasche als angehängtes Gewicht.+
  
 ===== Torsionsmodul des Drahtes ===== ===== Torsionsmodul des Drahtes =====
 {{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.29.48.jpeg?200|}} {{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.29.48.jpeg?200|}}
- +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-21_at_16.33.07.jpeg?200|}}
-===== Trägheitsmoment ===== +
-{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.26.19.jpeg?200|}} +
-{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.26.19_1_.jpeg?200|}}+
  
 Für die Berechnung des Torsionsmodul unseres Drahtes benutzen wir folgende Formel aus den Vorüberlegungen:\\ Für die Berechnung des Torsionsmodul unseres Drahtes benutzen wir folgende Formel aus den Vorüberlegungen:\\
-$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{\pi \cdot G \cdot r^4}{2 \cdot L \cdot I}}}\\+$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{\pi \cdot G \cdot r^4}{2 \cdot L \cdot I}}}$\\
 Diese konnen wir nun nach G umstellen und kommen auf:\\ Diese konnen wir nun nach G umstellen und kommen auf:\\
 $G = \frac{8 \cdot \pi \cdot L \cdot I}{T^2 \cdot r^4}$.\\ $G = \frac{8 \cdot \pi \cdot L \cdot I}{T^2 \cdot r^4}$.\\
 Nun können diese auch nochmal folgendermaßen schreiben:\\ Nun können diese auch nochmal folgendermaßen schreiben:\\
 $G = \frac{8 \cdot \pi \cdot I}{r^4}\cdot \frac{L}{T^2}$\\ $G = \frac{8 \cdot \pi \cdot I}{r^4}\cdot \frac{L}{T^2}$\\
 +mit der dazugehörigen Unsicherheit:\\
 +$u(G) = \sqrt{(\frac{u(L)}{L})^2+(\frac{u(I)}{I})^2+(2 \cdot \frac{u(T)}{T})^2+(4\cdot\frac{u(r)}{r})^2} \cdot G$\\
 Nun können wir auch über einen Plot mit linearem Fit, bei welchen wir die Periodendauer in Abhängigkeit von der Wurzel der Länge auftragen, über den Parameter A das Torsionsmodul bestimmen:\\ Nun können wir auch über einen Plot mit linearem Fit, bei welchen wir die Periodendauer in Abhängigkeit von der Wurzel der Länge auftragen, über den Parameter A das Torsionsmodul bestimmen:\\
-$G = \frac{8 \cdot \pi \cdot I}{r^4}\cdot \frac{1}{A^2}$+$G = \frac{8 \cdot \pi \cdot I}{r^4}\cdot \frac{1}{A^2}$\\ 
 +$u(G) = \sqrt{(\frac{u(I)}{I})^2+(4\cdot\frac{u(r)}{r})^2+ (2\cdot\frac{u(A)}{A})^2} \cdot G$ 
 + 
 +===== Trägheitsmoment ===== 
 +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.26.19.jpeg?200|}} 
 +{{ :a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe339:whatsapp_image_2021-01-20_at_17.26.19_1_.jpeg?200|}} 
 + 
 +Wenn wir das Torsionsmodul kennen, können wir anschließend auch relativ einfach das Trägheitsmoment für andere angehängte Gegenstände bestimmen. Wir haben unsere Messung nun also zusätzlich mit einem Nudelsieb und einer Flasche durchgeführt und können wieder als ausgangspunkt für unsere Berechnungen die Formel aus den Vorüberlegungen verwenden.\\ 
 +\begin{align} 
 +I &= \frac{T^2 \cdot G \cdot r^4}{8 \cdot \pi \cdot L}\\ 
 +u(I) &= I \cdot \sqrt{(4 \cdot \frac{u(r)}{r})^2+(2 \cdot \frac{u(T)}{T})^2+(\frac{u(G)}{G})^2+(\frac{u(L)}{L})^2} 
 +\end{align}\\ 
 +Durch einsetzten aller vorhandenen Werte kommen wir auf die Trägheitsmomente der untersuchten Objekte.\\ 
 +Die Verwendung von mit Wasser gefüllten Christbaumkugel war von uns in unserem Versuch nicht durchzuführen. Die Bewegung war so stark gedämpft, dass eine Messdatenaufnahme nicht möglich war.
 ===== Messunsicherheiten =====  ===== Messunsicherheiten ===== 
  
 Bei der Unsicherheit der Zeitmessung haben wir zunächst den Standardfehler ermittelt, welcher die Unsicherheit der Streuung betrachtet. Hierfür haben wir die Standardabweichungen der Messreihen ermittelt, den Mittelwert genommen und mit diesem Wert ($\sigma= 0,048s)$. MIt der Formel $u(T) = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ kommen wir schließlich auf einen Wert von $u(T) = 0,022 s$.\\ Bei der Unsicherheit der Zeitmessung haben wir zunächst den Standardfehler ermittelt, welcher die Unsicherheit der Streuung betrachtet. Hierfür haben wir die Standardabweichungen der Messreihen ermittelt, den Mittelwert genommen und mit diesem Wert ($\sigma= 0,048s)$. MIt der Formel $u(T) = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ kommen wir schließlich auf einen Wert von $u(T) = 0,022 s$.\\
-Die Unsicherheiten für die Länge/des Durchmessers der angehängten Masse schätzen wir auf $0,5 cm$ und die der Masse auf $0,5 g$. Wir wählen diese so, da es sich dann um die Hälfte einer Skaleneinheit handelt.+Die Unsicherheiten für die Länge der angehängten Stange setzen wir messbedingt auf $0,5 cm$, die Unsicherheit des Durchmessers der Stange messbedingt auf $0,05 mm$ und die der Masse auf $0,5 g$. Wir wählen diese so, da es sich dann um die Hälfte einer Skaleneinheit handelt. Bei alle weiteren Messungen handelt es sich ebenfalls um die halben Skaleneinheiten und sind jeweils dazu geschreiben.
 ===== Messwerte =====  ===== Messwerte ===== 
-Messreihe für fünf Perioden für den dicken Draht ($d=(0,55\pm0,05)mm$) und einem Stab mit einer Länge von $(40\pm0,5)cm$, einer Dicke von $(6\pm0,5)mm$ und einem Gewicht von $(89\pm0,5)g$ +Messreihe für fünf Perioden für den dicken Draht ($d=(0,50\pm0,05)mm$) und einem Stab mit einer Länge von $(40\pm0,5)cm$, einer Dicke von $(6\pm0,5)mm$ und einem Gewicht von $(89\pm0,5)g$ 
-^ Länge   ^ 1       ^ 2       ^ 3       ^ 4       ^ 5       ^ Durchschnitt  | Standardabweichung  ^ Eine Periode  | Standardabweichung eine Periode  | +^ Länge   ^ 1       ^ 2       ^ 3       ^ 4       ^ 5       ^ T         ^ $\sigma$(T)  ^ 
-^ 62 cm   | 53,25s  | 53,31s  | 54,32s  | 53,81s  | 53,75s  | 53,688s       | 0,388s              | 10,7376s      | 0,0776                           | +^ 62 cm   | 53,25s  | 53,31s  | 54,32s  | 53,81s  | 53,75s  | 10,7376s  | 0,0776       | 
-^ 48,5cm  | 48,08s  | 48,00s  | 48,23s  | 47,85s  | 47,87s  | 48,006s       | 0,1404s             | 9,6012s       | 0,02808                          | +^ 48,5cm  | 48,08s  | 48,00s  | 48,23s  | 47,85s  | 47,87s  | 9,6012s   | 0,02808      | 
-^ 31,3cm  | 38,64s  | 38,53s  | 38,41s  | 38,59s  | 38,52s  | 38,538s       | 0,0773s             | 7,7076s       | 0,01546                          | +^ 31,3cm  | 38,64s  | 38,53s  | 38,41s  | 38,59s  | 38,52s  | 7,7076s   | 0,01546      | 
-^ 18,4cm  | 30,85s  | 30,78s  | 30,62s  | 30,58s  | 30,31s  | 30,628s       | 0,1876s             | 6,1256s       | 0,03752                          | +^ 18,4cm  | 30,85s  | 30,78s  | 30,62s  | 30,58s  | 30,31s  | 6,1256s   | 0,03752      | 
-^ 9,6cm   | 22,73s  | 23,20s  | 22,84s  | 23,86s  | 22,78s  | 23,028s       | 0,4226s             | 4,6056s       | 0,08452                          |+^ 9,6cm   | 22,73s  | 23,20s  | 22,84s  | 23,86s  | 22,78s  | 4,6056s   | 0,08452      | 
 + 
 +Messreihe für fünf Perioden für den dünnen Draht ($d=(0,30\pm0,05)mm$) mit dem gleichem Stab, welchen wir beim dicken Draht verwendet haben. 
 +^ Länge   ^ 1       ^ 2       ^ 3       ^ 4       ^ 5       ^ T         ^ $\sigma$(T)  ^ 
 +| 20,5cm  | 51,60s  | 51,66s  | 51,62s  | 51,83s  | 51,92s  | 10,3452s  | 0,02528      | 
 + 
 +Messreihe für fünf Perioden für einen dicken Draht ($d=(0,50\pm0,05)mm$) mit einem Sieb (Gewicht $(428\pm0,5)g$) als Körper für die erste Messreihe und einer Flasche (Gewicht $(359\pm0,5)g$) als Körper für die zwite Messreihe. 
 +^ Länge   ^ 1       ^ 2       ^ 3       ^ 4       ^ 5       ^ T         ^ $\sigma$(T)  ^ 
 +| 26cm    | 65,41s  | 66,46s  | 66,60s  | 66,48s  | 66,58s  | 13,2612s  | 0,09026      | 
 +| 18,3cm  | 13,89s  | 14,04s  | 13,97s  | 14,12s  | 13,87s  | 2,7974s   | 0,01866      |
  
-Messreihe für fünf Perioden für den dünnen Draht ($d=(0,2\pm0,05)mm$) mit dem gleichem Stab, welchen wir beim dicken Draht verwendet haben. 
-^ Länge   ^ 1       ^ 2       ^ 3       ^ 4       ^ 5       ^ Durchschnitt  | Standardabweichung  ^ Eine Periode  | Standardabweichung eine Periode  | 
-| 20,5cm  | 51,60s  | 51,66s  | 51,62s  | 51,83s  | 51,92s  | 51,726s       | 0,1264              | 10,3452s      | 0,02528                          | 
  
-Messreihe für fünf Perioden für einen dicken Draht ($d=(0,55\pm0,05)mm$) mit einem Sieb (Gewicht $(428\pm0,5)g$) als Körper für die erste Messreihe und einer Flasche (Gewicht $(359\pm0,5)g$) als Körper für die zwite Messreihe. +Messreihe für fünf Perioden für einen Kupferdraht ($d=(1,30\pm0,05)mm$) mit dem gleichem Stab, welchen wir beim dicken Draht verwendet haben. 
-^ Länge   ^ 1       ^ 2       ^ 3       ^ 4       ^ 5       ^ Durchschnitt  | Standardabweichung  ^ Eine Periode  | Standardabweichung eine Periode  | +^ Länge    ^ 1       ^ 2       ^ 3       ^ 4       ^ 5       ^ T         ^ $\sigma$(T)  ^ 
-| 26cm    | 65,41s  | 66,46s  | 66,60s  | 66,48s  | 66,58s  | 66,306s       | 0,4513              | 13,2612s      | 0,09026                          | +| 36,3 cm  | 5,55 s  | 5,82 s  | 5,75 s  | 5,81 s  | 5,94 s  | 1,1548 s  |  0,02556 s   |
-| 18,3cm  | 13,89s  | 14,04s  | 13,97s  | 14,12s  | 13,87s  | 13,987s       | 0,0933              | 2,7974s       | 0,01866                          |+
  
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