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a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe342:start [18 January 2021 15:21] – [Theorie: Berechnung der Trägheitsmomente] lukaskoeppa_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe342:start [26 January 2021 15:19] (current) – juliusriekenberg
Line 1: Line 1:
-======= Final Countdown 342 =======+======= Drehschwingung - Gruppe 342 =======
  
-====== Aufgaben TO DO ======+Lukas Köpp 10029243
  
-<todo #lukaskoepp:2021-01-14>+Julius Riekenberg 10025155
  
-1. Welche Anfangsbedingungen führen auf die Lösung (3)? 
  
-</todo> 
  
-<todo #lukaskoepp:2021-01-14> 
- 
-2. In welchen Einheiten werden D, DR, I, jgemessen? 
- 
-</todo> 
- 
-<todo #lukaskoepp:2021-01-14> 
- 
-3. Setzen Sie Gl.(3) in Gl.(2) ein und beweisen Sie damit die Beziehung für w. 
- 
-</todo> 
- 
-<todo #lukaskoepp:2021-01-14> 
- 
-4. Wie kann man ein Drehmoment experimentell bestimmen? 
- 
-</todo> 
- 
-<todo #lukaskoepp:2021-01-14> 
- 
-5. Auf das System wirke ein Drehmoment D. Wie groß ist die Arbeit dW, wenn das System um djgedreht wird? Welche Änderung an Rotationsenergie entspricht dem? Benutzen Sie den Energiesatz, um mit diesen Beziehungen die Gl.(2) zu zeigen. 
- 
-</todo> 
- 
-<todo #lukaskoepp:2021-01-14> 
- 
-6. Wie lautet der Steinersche Satz? Welche physikalische Aussage benötigen Sie zu seinem Beweis 
- 
-</todo> 
- 
- 
-====== Vorüberlegungen ====== 
  
 ===== Aufstellen der Bewegungsgleichung ===== ===== Aufstellen der Bewegungsgleichung =====
Line 78: Line 44:
  
 $ T := T(L) =  \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2 I L}{\pi G r^4}} = \frac{1}{2 \pi r^2} \sqrt{\frac{2 I}{\pi G}} \cdot \sqrt{L}$ $ T := T(L) =  \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2 I L}{\pi G r^4}} = \frac{1}{2 \pi r^2} \sqrt{\frac{2 I}{\pi G}} \cdot \sqrt{L}$
 +
 +Für $T^2$ finden wir einen linearen Zusammenhang:
 +
 +$ T^2 =  \frac{I}{2 \pi^3 G r^4} \cdot L $
  
 ===== Durchführung ===== ===== Durchführung =====
Line 86: Line 56:
  
 Wir fangen damit an, das Torsionsmodul $G$ unter Bekanntheit des Trägheitsmoments $I$ des Stabes zu bestimmen. Dies erlaubt uns, im späteren Teil des Versuches Trägheitsmomente $I$ unbekannter Körper zu bestimmen. Wir errechen auch hier ein theoretisches Trägheitsmoment und vergleichen. Wir fangen damit an, das Torsionsmodul $G$ unter Bekanntheit des Trägheitsmoments $I$ des Stabes zu bestimmen. Dies erlaubt uns, im späteren Teil des Versuches Trägheitsmomente $I$ unbekannter Körper zu bestimmen. Wir errechen auch hier ein theoretisches Trägheitsmoment und vergleichen.
 +
 +{{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe342:img_20210113_185256.jpg?400|}}
 +
  
 ===== Energiebetrachtung ===== ===== Energiebetrachtung =====
Line 143: Line 116:
  
 wobei wir die Massendichte $\rho({\vec {r}}) = const. $ annehmen. wobei wir die Massendichte $\rho({\vec {r}}) = const. $ annehmen.
 +
 +
 +Die hohe Unsicherheit ist damit zu erklären, dass wir keine Küchenwaage besitzen. Wir bauen uns also folgende Apparatur auf:
 +
 +{{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe342:img_20210113_191426.jpg?400|}}
 +
 +Zuerst messen wir das Gewicht gegen die Füllhöhe der Flasche mit $u(\delta m) = 0,02 kg$. Wir rütteln, um den Einfluss der Haftreibung zu minimieren. Nun messen wir das Nullgewicht $m_0 = 0,07 \pm 0,01 kg$ der Flasche mittels einer Kippwaage. Dazu stellen wir nacheinander leere und volle Shotgläser auf die Waage auf gegenüberliegende Seiten. Mittels der Füllhöhe der Shotgläser und der Dichte von Wasser $\rho \approx 1 kg/m^3$ erhalten wir so also das Gewicht, was wir im folgenden als Summe über $m = \delta m + m_0$ schreiben werden. Die Unsicherheit ist damit $u(m) = 0,03 kg$.
 +
 +{{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe342:img_20210113_192803_1.jpg?400|}}
  
 ===== Dünner Metallstab ===== ===== Dünner Metallstab =====
Line 155: Line 137:
  
 $ l = 0.12 \pm 10^{-3} m, M = 0.04 \pm 0.01 kg $ $ l = 0.12 \pm 10^{-3} m, M = 0.04 \pm 0.01 kg $
- 
-Die hohe Unsicherheit ist damit zu erklären, dass wir keine Küchenwaage besitzen. Wir bauen uns also folgende Apparatur auf: 
- 
- 
-Bild\\ Bild\\ Bild\\ Bild 
  
 Nach Gauß'scher Fehlerfortpflanzung gilt: Nach Gauß'scher Fehlerfortpflanzung gilt:
Line 204: Line 181:
 $ I_2 = (0,43\pm 0,02) \cdot 10^{-3} \ kg\ m^2$ $ I_2 = (0,43\pm 0,02) \cdot 10^{-3} \ kg\ m^2$
  
-====== Messung 1 - Stab an Saite dünn ======+Der Fehler ist hier aber eigentlich deutlich größer, da wir von einer homogenen Masseverteilung ausgehen, was offensichtlich nicht der Fall ist. 
 +====== Messung 1 - Stab an Saite dünn ($r= 0.33 \pm 0.03$) ======
  
 Anfangsbedingungen: Anfangsbedingungen:
Line 224: Line 202:
 {{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe342:drehschwingung.messung1.png?nolink&400 |}}  {{:a_mechanik:drehschwingungen:gruppenseiten:gruppe342:drehschwingung.messung1.png?nolink&400 |}} 
  
-$ T(L)^2 = (4.788 \pm 0.841) \cdot L + 0.473 \pm 0.326 $+$ T(L)^2 = ( 6.01 \pm 0.27 ) \frac{s^2}{m} \cdot L  $
  
 +Aus der Theorie erwarten wir eine Steigung die sich aus $st = \frac{I}{2 \pi^3 G r^4}$ zusammensetzt. Außerdem kennen wir schon $ I = (4,8 \pm 1,2) \cdot 10^{-5}\ kg\ m^2 $ und $ r = (0.33 \pm 0.03)mm \Longrightarrow r^4 = ( 12 \pm 5 ) \cdot 10^{-15} m $. Nach Umstellen ergibt sich:
  
-====== Messung 2 - Stab an Saite dick ======+$ G = \frac{I}{2 \pi^3 \cdot st \cdot r^4 } = ( 10 \pm 5 ) \cdot 10^{6}   \frac{kg}{s^2 m}$ 
 + 
 +Da der relative Fehler viel zu groß ist und der $T^2$-Achsenabschnitt auch ziemlich groß ist, ist dieser Wert für weitere Berechnungen nicht emphelenswert. 
 + 
 + 
 +====== Messung 2 - Stab an Saite dick ($r = (1 \pm 0.025)mm$)======
  
 Anfangsbedingungen: Anfangsbedingungen:
Line 248: Line 232:
  
  
-$ T(L)^2 = (4.093 \pm 0.757) \cdot L + -0.142 \pm 0.349 $+$ T(L)^2 = ( 383 \pm 20 ) \cdot 10^{-2} \frac{s^2}{m} \cdot L $
  
 +Aus der Theorie erwarten wir eine Steigung die sich aus $ st = \frac{I}{2 \pi^3 G r^4}$ zusammensetzt. Außerdem kennen wir schon $ I = (4,8 \pm 1,2) \cdot 10^{-5}\ kg\ m^2 $ und $ r = (1.0 \pm 0.025)mm \Longrightarrow r^4 = ( 100 \pm 10 ) \cdot 10^{-14} m^4 $. Nach Umstellen ergibt sich:
  
 +$ G = \frac{I}{2 \pi^3 \cdot st \cdot r^4 } = ( 20 \pm 6 ) \cdot 10^{4}    \frac{kg}{s^2 m}$
  
-====== Messung 3 - Stab an Schnürsenkel ======+Diese Berechnung ist im Vergleich zur ersten deutlich plausibler.  
 + 
 +====== Messung 3 - Stab an Schnürsenkel ($r = (3 \pm 1)mm$)======
  
 Anfangsbedingungen: Anfangsbedingungen:
Line 272: Line 260:
  
  
-$ T(L)^2 = (335.567 \pm 53.107) \cdot L + 21.746 \pm 16.015$+$ T(L)^2 = ( 43 \pm 4 ) \cdot 10^{1} \frac{s^2}{m} \cdot L $ 
 + 
 +Aus der Theorie erwarten wir eine Steigung die sich aus $ st = \frac{I}{2 \pi^3 G r^4}$ zusammensetzt. Außerdem kennen wir schon $ I = (4,8 \pm 1,2) \cdot 10^{-5}\ kg\ m^2 $ und $ r = (3 \pm 1)mm \Longrightarrow r^4 = ( 8 \pm 11 ) \cdot 10^{-11} m^4 $. Nach Umstellen ergibt sich: 
 + 
 +$ G = \frac{I}{2 \pi^3 \cdot st \cdot r^4 } = ( 2 \pm 3 ) \cdot 10^{1}    \frac{kg}{s^2 m}$
  
 +Diese Berechnung scheitert an der Annahme eines harmonischen Potentials.
 ====== Messung 4 - Topfdeckel 1 an Saite dick ====== ====== Messung 4 - Topfdeckel 1 an Saite dick ======
  
-Durchmesser $ d = (0.21 \pm 0.005) m $+Durchmesser $ d = (0.210 \pm 0.005) m $
  
 Masse $ m = (0.07 + 0.65) kg $ Masse $ m = (0.07 + 0.65) kg $
Line 296: Line 289:
  
  
-$ T(L)^2 = (311.731 \pm 7.244) \cdot L + -7.110 \pm 2.732 $+$ T(L)^2 = ( 290 \pm 7 ) \frac{s^2}{m} \cdot L $
  
 +Vergleicht man nun den Proportionalitätfaktor mit dem aus Messung 2 erhält man $ I_{Topf1}= \frac{st_{Topf1}}{st_{Stab}} \cdot I_{Stab} = ( 36 \pm 9 ) \cdot 10^{-4}  \ kg\ m^2 $
 ====== Messung 5 - Topfdeckel 2 an Saite dick ====== ====== Messung 5 - Topfdeckel 2 an Saite dick ======
  
-Durchmesser $ d = (0.17 \pm 0.005) m $+Durchmesser $ d = (0.170 \pm 0.005) m $
  
 Masse $ m = (0.07 + 0.05) kg $ Masse $ m = (0.07 + 0.05) kg $
Line 320: Line 314:
  
  
-$ T(L)^2 = (60.820 \pm 0.336) \cdot L + -1.885 \pm 0.121 $+$ T(L)^2 = ( 558 \pm 15 ) \cdot 10^{-1}\frac{s^2}{m} \cdot L $ 
 + 
 +Vergleicht man nun den Proportionalitätfaktor mit dem aus Messung 2 erhält man $ I_{Topf_2}= \frac{st_{Topf_2}}{st_{Stab}} I_{Stab} = ( 70 \pm 18 ) \cdot 10^{-5}  \ kg\ m^2 $ 
 + 
 +====== Auswertung ====== 
 + 
 +Für die zwei Topfdeckel erhalten wir 
 + 
 +$ I_{Topf_1, Theorie} = 3,97 \cdot 10^{-3} \ kg\ m^2 \longleftrightarrow  I_{Topf1, Experiment} = (3.7 \pm 1.1) 10^{-3} \ kg\ m^2 $ 
 + 
 +$ I_{Topf_2, Theoie} = 0,43 \cdot 10^{-3} \ kg\ m^2 \longleftrightarrow I_{Topf_2} = (0.71 \pm 0.22) 10^{-3} \ kg\ m^2 $ 
 + 
 +Wir sehen, dass wir für die höhere Masse im Fehlerintervall liegen. Bei höherer Masse ist möglicherweise das Modell des Torsionsmodules treffender und mögliche Störquellen weniger einflussreich.
  
 ===== Code zu den Plots ===== ===== Code zu den Plots =====
  
 <code python > <code python >
- 
 import numpy as np import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib.pyplot as plt
 from scipy import stats from scipy import stats
 +from scipy.odr import *
 +from help import string_correctly, err_evolution
  
 ul = 0.03 ul = 0.03
Line 334: Line 341:
  
 mess1 = {'val': np.array([[0.56, 17.5], [0.42, 15.9], [0.35, 15.6], [0.29, 12.9], [0.24, 12.58]]), 'phi': np.pi, mess1 = {'val': np.array([[0.56, 17.5], [0.42, 15.9], [0.35, 15.6], [0.29, 12.9], [0.24, 12.58]]), 'phi': np.pi,
-         'nt': 10}+         'nt': 10, 'r': 1 / 3 * 10 ** - 3, 'r_err': 0.1 / 3 * 10 ** - 3, 'i': 4.8 * 10 ** -5, 'i_err': 1.2 * 10 ** -5}
  
 mess2 = {'val': np.array([[0.53, 13.44], [0.62, 16.32], [0.47, 12.68], [0.35, 11.49], [0.23, 9.47]]), 'phi': np.pi, mess2 = {'val': np.array([[0.53, 13.44], [0.62, 16.32], [0.47, 12.68], [0.35, 11.49], [0.23, 9.47]]), 'phi': np.pi,
-         'nt': 10}+         'nt': 10, 'r': 1 * 10 ** - 3, 'r_err': 0.1 / 4 * 10 ** - 3, 'i': 4.8 * 10 ** -5, 'i_err': 1.2 * 10 ** -5}
  
 mess3 = {'val': np.array([[0.48, 26.86], [0.18, 19.37], [0.1, 13.58]]), 'phi': 4 * np.pi, mess3 = {'val': np.array([[0.48, 26.86], [0.18, 19.37], [0.1, 13.58]]), 'phi': 4 * np.pi,
-         'nt': 2}+         'nt': 2, 'r': 3 * 10 ** - 3, 'r_err': 1 * 10 ** - 3, 'i': 4.8 * 10 ** -5, 'i_err': 1.2 * 10 ** -5}
  
 mess4 = {'val': np.array([[0.56, 38.88], [0.29, 27.11], [0.17, 20.57]]), 'phi': np.pi, mess4 = {'val': np.array([[0.56, 38.88], [0.29, 27.11], [0.17, 20.57]]), 'phi': np.pi,
-         'nt': 3}+         'nt': 3, 'r': 1 * 10 ** - 3, 'r_err': 0.1 / 4 * 10 ** - 3, 'i': 4.8 * 10 ** -5, 'i_err': 1.2 * 10 ** -5}
  
 mess5 = {'val': np.array([[0.50, 26.69], [0.33, 21.36], [0.17, 14.51]]), 'phi': np.pi, mess5 = {'val': np.array([[0.50, 26.69], [0.33, 21.36], [0.17, 14.51]]), 'phi': np.pi,
-         'nt': 5}+         'nt': 5, 'r': 1 * 10 ** - 3, 'r_err': 0.1 / 4 * 10 ** - 3, 'i': 4.8 * 10 ** -5, 'i_err': 1.2 * 10 ** -5} 
 + 
 + 
 +def lin(a, x): 
 +    return a * x 
 + 
 + 
 +def r_4(r): 
 +    return r ** 4 
 + 
 + 
 +def torsion(i, r4, slope): 
 +    return i / (2 * np.pi ** 3 * r4 * slope) 
 + 
 + 
 +def trägmom(i2, slope1, slope2): 
 +    return i2 * slope1 / slope2 
  
 messes = [mess1, mess2, mess3, mess4, mess5] messes = [mess1, mess2, mess3, mess4, mess5]
Line 361: Line 385:
     tq_max = max(t_quad)     tq_max = max(t_quad)
     tq_mean = sum(t_quad) / len(t_quad)     tq_mean = sum(t_quad) / len(t_quad)
 +    uts = [2 * tq * ut / (nt ** 2) for tq in t_quad]
     sol = stats.linregress(lengths[:len(t_quad)], t_quad)     sol = stats.linregress(lengths[:len(t_quad)], t_quad)
-    fit = [sol.slope * l + sol.intercept for l in lens]+    lin_model = Model(lin) 
 +    data = RealData(lengths[:len(t_quad)], t_quad, sx=ul, sy=uts) 
 +    sol_real = ODR(data, lin_model, beta0=[1.]).run() 
 +    fit = [sol_real.beta[0] * l for l in lens]
     dls = [l - l_mean for l in lengths]     dls = [l - l_mean for l in lengths]
     sdl = sum([abs(dl) for dl in dls]) / len(dls)     sdl = sum([abs(dl) for dl in dls]) / len(dls)
Line 369: Line 397:
     covltq = sum([dls[i] * dtqs[i] for i in range(len(dls))]) / (len(dls) - 1)     covltq = sum([dls[i] * dtqs[i] for i in range(len(dls))]) / (len(dls) - 1)
     corltq = covltq / (sdl * sdtq)     corltq = covltq / (sdl * sdtq)
-    print('(%.3f' % (round(sol.slope, 3)) + ' \pm ' + '%.3f' % (round(sol.stderr, 3)) + ') \cdot L + ' + '(%.3f' % ( 
-        round(sol.intercept, 3)) + ' \pm ' + '%.3f)' % (round(sol.intercept_stderr, 3))) 
     fig = plt.figure(figsize=(6, 6))     fig = plt.figure(figsize=(6, 6))
     ax = fig.add_subplot(111)     ax = fig.add_subplot(111)
-    ax.errorbar(lengths, [time ** 2 for time in times], linestyle='', marker='', xerr=ul, yerr=2 * tq_mean * ut / nt,+    ax.errorbar(lengths, [time ** 2 for time in times], 
 +                linestyle='', marker='', xerr=ul, 
 +                yerr=2 * tq_mean * ut / (nt ** 2),
                 label='Messwerte')                 label='Messwerte')
-    ax.plot(lens, fit, linestyle='-', label='Linfit mit $R^2 =$' + "%.3f" % (round(sol.rvalue ** 2, 3)))+    ax.plot(lens, fit, linestyle='-', 
 +            label='Linfit mit $R^2 =$' + "%.3f" % (round(sol.rvalue ** 2, 3)))
     ax.set_xlim(0, 1.1 * l_max)     ax.set_xlim(0, 1.1 * l_max)
     ax.set_ylim(0, 1.1 * tq_max)     ax.set_ylim(0, 1.1 * tq_max)
Line 384: Line 413:
     plt.savefig('Drehschwingung.Messung' + str(j + 1) + '.png')     plt.savefig('Drehschwingung.Messung' + str(j + 1) + '.png')
     plt.show()     plt.show()
 +    slope = sol_real.beta[0]
 +    slope_err = sol_real.sd_beta[0]
 +    print(j + 1, ':')
 +    print('Slope: ', string_correctly(slope, slope_err))
 +    if j < 3:
 +        r = mess['r']
 +        r_err = mess['r_err']
 +        i = mess['i']
 +        i_err = mess['i_err']
 +        if j == 1:
 +            i2 = i
 +            i2_err = i_err
 +            slope2 = slope
 +            slope2_err = slope_err
 +        r4, r4_err = err_evolution(r_4, [r], [r_err])
 +        g, g_err = err_evolution(torsion, [i, r4, slope], [i_err, r4_err, slope_err])
 +        print('r^4: ', string_correctly(r4, r4_err))
 +        print('g: ', string_correctly(g, g_err), end='\n\n\n')
 +    else:
 +        i, i_err = err_evolution(trägmom, [i2, slope, slope2], [i2_err, slope_err, slope2_err])
 +        print('I: ', string_correctly(i, i_err), end='\n\n\n')
 +
 +</code>
 +        
 +
 +
 +===== Hilfscode =====
 +<code python>
 +def round_correctly(val, err):
 +    first_sign = 0
 +    while err // (10 ** first_sign) > 0:
 +        first_sign += 1
 +    while err // (10 ** first_sign) == 0:
 +        first_sign -= 1
 +    if err // (10 ** first_sign) < 3:
 +        first_sign -= 1
 +    return round(val * 10 ** -first_sign), round(err * 10 ** -first_sign), first_sign
 +
 +
 +def lin_fit_label(sol, xstr):
 +    return '$Fit = ' + string_correctly(sol.slope, sol.stderr) + ' \\cdot ' + xstr + ' + ' + string_correctly(
 +        sol.intercept, sol.intercept_stderr) + '$;  $R^2 = ' + str(round(sol.rvalue ** 2, 3)) + '$'
 +
 +
 +def string_correctly(val, err):
 +    val, err, pot = round_correctly(val, err)
 +    return ' ( ' + str(int(val)) + ' \pm ' + str(int(err)) + ' )' + (' \\cdot 10^{' + str(pot) + '} ') * (pot != 0)
 +
 +
 +def err_evolution(func, params, errors):
 +    val = func(*params)
 +    err_q = 0
 +    for i in range(len(params)):
 +        _, _, pot = round_correctly(params[i], errors[i])
 +        h = 10 ** (pot - 5)
 +        upper = (params[j] + h * (j == i) for j in range(len(params)))
 +        lower = (params[j] - h * (j == i) for j in range(len(params)))
 +        diff = (func(*upper) - func(*lower)) / (2 * h)
 +        err_q += (diff * errors[i]) ** 2
 +    return val, err_q ** 0.5
  
 </code> </code>