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a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe326:start [ 7 January 2021 12:19] – [Numerische Lösung/ Computerprogramm] jan-schimansky@gmx.dea_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe326:start [21 January 2021 15:25] (current) – [Versuchsdurchführung] davinhoellmann
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 ===== Einleitung ===== ===== Einleitung =====
-Im folgenden Versuch wird die Kippbewegung eines Besenstiels und die damit verbundene Physik untersucht. Der Versuch ist in zwei Teile aufgeteilt. Zum einen wird im Home-Lab eine Messreihe von zwei kippenden Besenstielen aufgenommen. Untersucht werden verschiedene Startwinkel unter zwei verschiedenen Stablängen $l$ um die Kippzeit $T$ zu variieren. Zusätzlich wird ein kurzes Computerprogramm in Mathematica geschrieben, welches mithilfe des Zeitschrittverfahrens eine numerische Lösung für die Winkelbeschleunigung des Besens ausgibt.  +Im folgenden Versuch wird die Kippbewegung eines Besenstiels und die damit verbundene Physik untersucht. Der Versuch ist in zwei Teile aufgeteilt. Zum einen wird im Home-Lab eine Messreihe von zwei kippenden Besenstielen aufgenommen. Untersucht werden verschiedene Startwinkel unter zwei verschiedenen Stablängen $l$ um die Kippzeit $T$ zu variieren. Zusätzlich wird ein kurzes Computerprogramm in Mathematica geschrieben, welches mithilfe des Zeitschrittverfahrens eine numerische Lösung für die Winkelbeschleunigung des Besens ausgibt. Die gegebene Differentialgleichung lautet: 
- +\begin{align} 
-Im Wiki werden die Vorüberlegungen, der Versuchsaufbau sowie der Computercode erklärt. Außerdem werden hier die Versuchswerte dokumentiert. +    \ddot{\varphi}&=\frac{sin(\varphi)}{\tau^2}\\ 
-Der Versuchsebricht deckt dann die Auswertung und Erklärung des beobachteten ab. +    \tau&=\sqrt{\frac{2*l}{3*g}} 
-====== Diese Seiten ====== +\end{align}
-Diese Seite und ihre Unterseiten sind Ihr Bereich im APwiki für die Bearbeitung +
-des Heim-Versuchs "Kippender Besenstiel". Er soll die Funktion übernehmen, die  +
-im Präsenzpraktikum das Heft hat. Das heißt, es ist Ihre Logbuch für das, was +
-Sie konkret experimentell und bei der Programmierung durchführen.  +
- +
-Legen Sie Fotos ab, notieren Sie Messwerte, laden sie ihr Programm hoch. Form +
-und Formatierung sind dabei zweitrangig.  +
- +
-Damit dieser Bereich diese Aufgabe erfüllen kann, haben wir ihn mit speziellen +
-Zugriffsrechten ausgestattet: +
-  - Ihre Gruppe hat das exklusive Schreibrecht für diese Seite. +
-  - Die Seite ist nur für Ihre Gruppe, die Tutoren und die Praktikumsleitung einsehbar. +
- +
-Unten auf dieser Seite finden Sie einen Abschnitt "Diskussion". Über diesen Abschnitt +
-findet die Kommunikation mit Ihrem Tutor statt. Sie oder er wird Ihnen dort  +
-Rückmeldung zu Ihrem Versuchsbericht geben.  +
- +
-Hier im Wiki gibt es [[:vorlage-versuchsbericht:start|Hinweise für die  +
-Formatierung ihres Versuchsberichts mit Latex]]. Den Versuchsbericht geben Sie  +
-dann im Ilias ab.+
  
-<note>Alles, was beim ersten Aufruf auf der Seite zu lesen ist, soll Ihnen  +Im Wiki werden die Vorüberlegungen, der Computercode und der Versuchsaufbau sowie deren Messwerte dokumentiert. 
-den Start erleichtern. Sie können es nach Belieben löschen und durch Ihre  +Der Versuchsbericht deckt dann die Auswertung und Erklärung des Beobachteten ab.
-eigenen inhalte ersetzen. </note>+
  
 ===== Vorüberlegungen ===== ===== Vorüberlegungen =====
 ==Beschreiben Sie die Kippbewegung mithilfe physikalischer Begriffe== ==Beschreiben Sie die Kippbewegung mithilfe physikalischer Begriffe==
 +Der Schwerpunkt des Stabes liegt in der Stabmitte wenn man annimmt, dass die Masse des Stabes homogen verteilt ist. Die Bewegung des Stabes verläuft nun in einer Drehbewegung um den Kontaktpunkt, also den Punkt auf dem der Stab steht, herum. Auf den Stab wirkt das Moment $\vec{M}=\vec{F}\times \vec{a}$, dieses Moment setzt sich aus dem Hebel $\vec{a}=sin(\varphi)\cdot \vec{L}\cdot \frac{1}{2}$ und der Kraft $\vec{F}=m\cdot \vec{g}$ zusammen. Für das Moment ergibt sich also $\vec{M}=(sin(\varphi)\cdot \vec{L}\cdot \frac{1}{2})\times (m\cdot \vec{g})$. Somit ist das Moment vom Hebel abhängig, dieser Hebel wird im Verlaufe der Kippbewegung immer größer, also wird auch das Moment und auch damit die Beschleunigung größer.
 ==Begründen Sie: Vernachlässigt man die Luftreibung, so hängt bei gleicher Stablänge die Kippzeit $T$ nicht von der Stabmasse $m$ ab.== ==Begründen Sie: Vernachlässigt man die Luftreibung, so hängt bei gleicher Stablänge die Kippzeit $T$ nicht von der Stabmasse $m$ ab.==
 Analog zum freien Fall spielt bei der Kippbewegung die Masse des Besenstiels keine Rolle da unabhängig von ihrer Masse dieselbe Beschleunigung g auf sie wirkt. Neben der Gewichtskraft ist nach dem zweiten Newtonschen Gesetz die Beschleunigung proportional zur einwirkenden Kraft. Analog zum freien Fall spielt bei der Kippbewegung die Masse des Besenstiels keine Rolle da unabhängig von ihrer Masse dieselbe Beschleunigung g auf sie wirkt. Neben der Gewichtskraft ist nach dem zweiten Newtonschen Gesetz die Beschleunigung proportional zur einwirkenden Kraft.
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     a&=g     a&=g
 \end{align} \end{align}
-Bei der Kippbewegung erfahren alle Stäbe der gleichen Form - unabhängig von ihrer Masse - dieselbe Beschleunigung g.+Bei der Kippbewegung erfahren alle Stäbe der gleichen Form - unabhängig von ihrer Masse - dieselbe Beschleunigung a.
 ==Alltägliche Erfahrung: Je kleiner der Anfangswinkel ist, desto größer ist die Kippzeit $T$== ==Alltägliche Erfahrung: Je kleiner der Anfangswinkel ist, desto größer ist die Kippzeit $T$==
 +Je größer der Anfangswinkel desto geringer ist die Strecke die der Stab kippt und damit ist auch die Kippzeit geringer. Alltagserfahrung: Prokrastinieren beim Laub harken.
 ==Welchen Einfluss hat die Stablänge?== ==Welchen Einfluss hat die Stablänge?==
 +Ein längerer Stab führt zu einer längeren Kippzeit. Dies liegt an der Abhängigkeit der Kippzeit vom Drehmoment $M=F\cdot a$ wobei der Hebel a länger ist, je länger der Stab ist.
 ==Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglieren möglichst leicht gelingt?== ==Welche Schlussfolgerungen ergeben sich aus diesen Experimenten für das Jonglieren? Wie sollte der Stab beschaffen sein, damit das Jonglieren möglichst leicht gelingt?==
-===== Numerische Lösung/ Computerprogramm ===== +Um den Stab gut Jonglieren zu können sollte die Zeit die man hat zwischen der der Stab zur einer Seite wegkippt und der ausbalancierenden Bewegung so lang wie möglich sein, heißt die Fallzeit sollte so hoch wie möchlich sein, da mit steigender Stablänge sich die Fallzeit erhöht. Es folgt also es ist umso leichter einen Stab zu balancieren je länger er ist.
-Dokumentieren Sie hier im Wiki das Programm, das Sie für die Lösung der Bewegungsgleichung des Besenstiels geschrieben haben. Dafür eignet sich dafür besonders gut die Umgebung <nowiki><code></nowiki>. Wenn Sie dieser Umgebung mitteilen, in welcher Sprache das Programm geschrieben wurde wird die Syntax automatisch farbig hervorgehoben. ([[doku>de:wiki:syntax#syntax-hervorhebung|Dokumentation dazu]]) Die Liste der Programmiersprachen in der deutschsprachigen Dokumentation ist bei weitem nicht vollständig. Siehe die [[doku>wiki:syntax#syntax_highlighting|englische Variante]] +
  
-Außerdem ist es möglich einen Link zum Download des präsentierten Programm-Codes anzuzeigen. Dazu geben Sie in dem einleitenden code-Tag einen Dateinamen an. Der Download bezieht sich unmittelbar auf das Im Editor eingetragene Programmstück. Ein getrennter Upload ist nicht nötig.+ 
 +===== Numerische Lösung/ Computerprogramm =====
 == Vorgehen Zeitschrittverfahren == == Vorgehen Zeitschrittverfahren ==
 Das Zeitschritt- bzw. Euler-Verfahren ist das älteste und einfachste Verfahren um eine Differentialgleichung numerisch zu lösen. Das Zeitschritt- bzw. Euler-Verfahren ist das älteste und einfachste Verfahren um eine Differentialgleichung numerisch zu lösen.
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 Zu sehen ist, dass der neue Ort durch bekannte Werte berechnet werden kann. Dadurch kann auch wieder die Beschleunigung der Stabspitze am neuen Ort $\ddot{\varphi}(0+\Delta t)$ berechnet werden. In einer weiteren Iteration kann nun der nächste Punkt berechnet werden. Zu sehen ist, dass der neue Ort durch bekannte Werte berechnet werden kann. Dadurch kann auch wieder die Beschleunigung der Stabspitze am neuen Ort $\ddot{\varphi}(0+\Delta t)$ berechnet werden. In einer weiteren Iteration kann nun der nächste Punkt berechnet werden.
 == Endwinkel == == Endwinkel ==
-Das Programm könnte theoretisch die Winkel für immer größer werdende Winkel simulieren. Da unser Fall aber auf den kippenden Besenstiel beschränkt ist, muss ein Endwinkel eingesetzt werden. Unter der Annahme, dass der Versuch auf komplett ebenen Boden durchgeführt wurde, beträgt dieser natürlich $90^\circ$ also etwa 1.5708 Radiant. +Das Programm könnte theoretisch die Winkel für immer größer werdende Winkel simulieren. Da unser Fall aber auf den kippenden Besenstiel beschränkt ist, muss ein Endwinkel eingesetzt werden. Unter der Annahme, dass der Versuch auf komplett ebenen Boden durchgeführt wurde, beträgt dieser natürlich $90^\circ$ also etwa $1.5708$ Radiant. 
 == Länge der Zeitschritte == == Länge der Zeitschritte ==
-Eine Veränderung der Schrittlänge hat direkte Auswirkungen auf den letzten Ausgegebenen Wert und die damit verbundene Genauigkeit der Kippzeit. Da die Whileschleife ab einem Winkel von $\varphi=1,5707$ Radiant stoppt haben größere Schrittweiten zur Folge, dass der letzte berechnete Winkel weiter vom Endwinkel entfernt ist. Die Kippzeit kann dann auch nur eins der Vielfachen der großen Zeitschritte sein. Wählt man jedoch kleinere Zeitschritte so erhält man relativ schnell genauere Kippzeiten.+Eine Veränderung der Schrittlänge hat direkte Auswirkungen auf den letzten Ausgegebenen Wert und die damit verbundene Genauigkeit der Kippzeit. Da die Whileschleife ab einem Winkel von $\varphi=1,5708$ Radiant stoppt, haben größere Schrittweiten zur Folge, dass der letzte berechnete Winkel weiter vom Endwinkel entfernt ist. Damit ist die Kippzeit für größere Schrittweiten etwas kleiner. Die Kippzeit kann dann auch nur eins der Vielfachen der großen Zeitschritte sein. Wählt man jedoch kleinere Zeitschritte so erhält man relativ schnell genauere Kippzeiten.
  
  
-Beispiel: +== Der Code == 
-<code><code c [enable_line_numbers="true"] hello-besenstiel-world.c > +Der unten aufgeführte Code berechnet die Kippzeiten für eine Besenstiellänge von $1,45\,m$. Für die numerischen Werte wurden natürlich die Anfangswerte verändert. 
-#include <stdio.h> + 
-int main() +Der Code beginnt mit der Definition der Anfangswerte und der Differentialgleichung. Der Befehl euler ist dann das Herzstück. In einer Module-Umgebung, welche die Anfangswerte als lokal definiert wird eine While-Schleife bis zum Grenzwinkel genutzt, um das Zeitschrittverfahren durchzuführen. Dies wird in eine Liste übertragen. Aus unbekannten Gründen geht dabei die While-Schleife einen Schritt über den Grenzwinkel, weshalb mit Drop der letzte Listeneintrag gelöscht wird. Der nun letzte Eintrag zeigt die Zeit und den zugehörigen Winkel an, also die Kippzeit (stimmt mit der aus Abbildung 3 etwa überein) mit etwa $90^\circ$, je nach Schrittweite. Plottet man jetzt die gesamte Liste erhält man ein Diagramm, welches die Bewegung des Stabes beschreibt.  
-{ + 
-   printf("Hello, World!"); +Um jetzt aber das Diagramm aus Abbildung 3 zu erhalten, muss ein Schritt weiter gegangen werden. In einer weiteren Liste werden nun die letzten Zeitpunkte in Abhängigkeit vom Startwinkel definiert. Dazu wird der Startwinkel in einer äußeren While-Schleife schrittweise erhöht. Der Plot den wir erhalten stimmt ziemlich genau mit Abbildung 3 überein. 
-   return 0; + 
-} +<code mathematica [enable_line_numbers="true"] Besenstiel.nb> 
-</code> +t0 = 0; 
-wird dargestellt als +\[CurlyPhi]0 = 0.25; 
-<code c [enable_line_numbers="true"] hello-besenstiel-world.c > +g = 9.81; 
-#include <stdio.h> +l = 1.45; 
-int main() +\[CurlyPhi]10 = 0; 
-{ +stepsize = 0.01; 
-   printf("Hello, World!"); + 
-   return 0; +\[CurlyPhi]2[\[CurlyPhi]_] := (3*Sin[\[CurlyPhi]]*g)/(2*l) 
-}+ 
 +euler := Module[{ans, t, \[CurlyPhi], \[CurlyPhi]1},  
 +   ans = {{t0, \[CurlyPhi]0}};  
 + \[CurlyPhi] = \[CurlyPhi]0; 
 +   t = t0; 
 +   \[CurlyPhi]1 = \[CurlyPhi]10; 
 +  While[\[CurlyPhi] < 1.5708, 
 + \[CurlyPhi]1 = \[CurlyPhi]1 + stepsize*\[CurlyPhi]2[\[CurlyPhi]]; 
 +   \[CurlyPhi] = \[CurlyPhi] + stepsize*\[CurlyPhi]1;  
 +    t = t + stepsize;  
 + ans = Append[ans, {t, \[CurlyPhi]}] ]; 
 + ans] 
 + 
 +eulerans1 = Drop[euler, -1]; 
 + 
 +Last[eulerans1] 
 + 
 +grapheuler1 = ListPlot[eulerans1, AxesLabel -> {"t", "\[CurlyPhi]"}, PlotStyle -> {PointSize[0.01]}, GridLines -> Automatic] 
 + 
 +h = 0.0001; 
 + 
 +times = Module[{\[CurlyPhi]0, bns}, bns = {{0.2, 0.8819999999999192}}; 
 +   \[CurlyPhi]0 = 0.22; 
 +   While[\[CurlyPhi]0 < 1.32, 
 +    bns = Append[ 
 +      bns, 
 +      {\[CurlyPhi]0, Last[Drop[Module[ 
 +          {ans, t, \[CurlyPhi], \[CurlyPhi]1}, 
 +          ans = {t0}; 
 +          \[CurlyPhi] = \[CurlyPhi]0; 
 +          t = t0; 
 +          \[CurlyPhi]1 = \[CurlyPhi]10; 
 +          While[ 
 +           \[CurlyPhi] < 1.5708, 
 +           \[CurlyPhi]1 = \[CurlyPhi]1 + h*\[CurlyPhi]2[\[CurlyPhi]]; 
 +           \[CurlyPhi] = \[CurlyPhi] + h*\[CurlyPhi]1; 
 +           t = t + h; 
 +           ans = Append[ans, t] ]; ans], -1]]} 
 +      ]; 
 +    \[CurlyPhi]0 = \[CurlyPhi]0 + 0.02]; bns]; 
 + 
 +ListPlot[times, AxesLabel -> {"\[CurlyPhi]0", "T"}, PlotStyle -> {PointSize[0.01]}, GridLines -> Automatic] 
 + 
 +acceleration = 1.45*\[CurlyPhi]2[1.5708]
 </code> </code>
 +
 +== Zeigen Sie, dass ein Massepunkt der Stabspitze mit einer größeren Beschleunigung zu Boden fällt, als eine frei fallende Punktmasse ==
 +Die Beschleunigung der Punktmasse am Stabende lässt sich über den Krümmungsradius der Kreisbewegung, also die Stablänge und die Winkelbeschleunigung $\ddot{\varphi}$ beim Aufschlag berechnen. In diesem Moment ist sie nämlich senkrecht nach unten was einen Vergleich ermöglicht. Wie im Code oben zu sehen wurde dazu die Winkelbeschleunigung von $90^\circ$ mit der Stablänge multipliziert woraus sich eine Beschleunigung von $14,715\frac{m}{s^2}$ für die Stabspitze mit voller Masse ergibt. Diese ist deutlich höher als die Beschleunigung einer frei fallenden Punktmasse von $g=9,81\frac{m}{s^2}$.
  
 ===== Versuchsdurchführung ===== ===== Versuchsdurchführung =====
  
-== kippender Besenstiel == +== Kippender Besenstiel == 
-Zu Beginn wird eine flache Fläche gesucht an welcher ein Zollstock zur Höhenmessung angeklebt wird. Zur Messung wird noch ein zweiter Zollstock benötigt welcher für die Messung des Abstandes zwischen Wand und Besenstiel verwendet wird. Nun fehlen noch die Art der Zeitmessung und die beiden Besenstiele, wobei die beiden Stiele folgende Werte haben, h<sub>1</sub>=(159,6±0,2)cm und h<sub>2</sub>=(133,0±0,2)cm. Für die Zeitmessung wird die akkustische Stopuhr der App Phyphox verwendet, als erstes Signal wird ein Stift verwendet und als Endsignal das auftreffen des Besens auf dem Boden. Um nun einen Winkel fest zulegen wird der x-Achsenabschnitt festgelegt und so der Winkel indirekt festgelegt. Für dieses Vorgehen ist ein Rechterwinkel nötig. Der Abstand von Wand zum Besenstiel wird von logischer Weise vom anfang der Wand bis zum Mittelpunkt des Stabquerschittes gemessen.+Zu Beginn wird eine flache Fläche gesucht an welcher ein Zollstock zur Höhenmessung angeklebt wird. Zur Messung wird noch ein zweiter Zollstock benötigt welcher für die Messung des Abstandes zwischen Wand und Besenstiel verwendet wird. Nun fehlen noch die Art der Zeitmessung und die beiden Besenstiele, wobei die beiden Stiele folgende Werte haben, h<sub>1</sub>=(159,6±0,3)cm und h<sub>2</sub>=(133,0±0,3)cm. Für die Zeitmessung wird die akustische Stopuhr der App Phyphox verwendet, als erstes Signal wird ein Stift verwendet und als Endsignal das Auftreffen des Besens auf dem Boden. Um nun einen Winkel festzulegen wird der x-Achsenabschnitt und so der Winkel indirekt festgelegt. Für dieses Vorgehen ist ein rechter Winkel nötig. Der Abstand von Wand zum Besenstiel wird vom Anfang der Wand bis zum Mittelpunkt des Stabquerschnittes gemessen.
 {{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe326:itsbesenstielmydudes.jpg?400 |}} {{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe326:besenbildwerfen2.jpeg?400|}} {{:a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe326:itsbesenstielmydudes.jpg?400 |}} {{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe326:besenbildwerfen2.jpeg?400|}}
  
-Damit nicht immer eine Wasserwaage oder ähnliches benutzt werden musss wird der y-Achsenabsschnitt mittels Satz des Pythagoras berechnet. So kann immer beim Zollstock für die x-Koordinate ein Wert für einen Winkel abgelesen werden und dieser  Zollstock muss für einen Rechtenwinkel lediglich auf einer bestimmten höhe des y-Zollstockes anliegen, Siehe Bild.+Damit nicht immer eine Wasserwaage oder ähnliches benutzt werden muss, wird der y-Achsenabsschnitt mittels Satz des Pythagoras berechnet. So kann beim Zollstock für die x-Koordinate ein Wert für einen Winkel abgelesen werden und dieser  Zollstock muss für einen rechten Winkel lediglich auf einer bestimmten Höhe des y-Zollstockes anliegen, siehe Bild.
 Die Berechnung folgt über trigonometrische Beziehungen und den Satz des Pytagoras. Die Berechnung folgt über trigonometrische Beziehungen und den Satz des Pytagoras.
-a<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>-b<sup>2</sup> +\begin{align} 
-φ=arccos(x/h) +a^2=c^2-b^2\\ 
 +\varphi=arccos(\frac{x}{h}) 
 +\end{align}
  
 ---- ----
Line 105: Line 134:
  
  
-Messreihe zur Fallzeit des ersten Besenstieles mit h<sub>1</sub>=(159,6±0,2)cm für verschiedene Winkel φ und jeweils fünf Messungen pro Winkel. +Messreihe zur Fallzeit des ersten Besenstieles mit h<sub>1</sub>=(159,6±0,3)cm für verschiedene Winkel $\varphi$ und jeweils fünf Messungen pro Winkel. 
-^ Messung Besen 1  ^ Winkel in //rad//  ^ 1 in s  ^ 2 in s  ^ 3 in s  ^ 4 in s  ^ 5 in s  ^ Mittelwert in s  ^ Standardabweichung in s  ^ +^ Messung Besen 1  ^ Winkel in //rad//  ^ 1 in s  ^ 2 in s  ^ 3 in s  ^ 4 in s  ^ 5 in s  ^ Mittelwert in s  ^ Standardfehler in s  ^ 
-^ Winkel 1         | 0,0469             | 1,39    | 1,54    | 1,54    | 1,36    | 1,49    | 1,46             | 0,09                     | +^ Winkel 1         | 0,0469±0,0028          | 1,39    | 1,54   | 1,54   | 1,36   | 1,49   | 1,46            | 0,04                    | 
-^ Winkel  2        | 0,0941             | 1,17    | 1,25    | 1,15    | 1,17    | 1,17    | 1,18             | 0,04                     | +^ Winkel 2         | 0,094 ±0,005            | 1,17   | 1,25   | 1,15   | 1,17   | 1,17   | 1,18            | 0,04                    | 
-^ Winkel 3         | 0,1257             | 1,017   | 1,010   | 1,005   | 1,004   | 1,009   | 1,009            | 0,005                    | +^ Winkel 3         | 0,126 ±0,006            | 1,02   | 1,01   | 1,01   | 1,00   | 1,01   | 1,01            | 0,04                    | 
-^ Winkel 4         | 0,1890             | 0,936   | 0,989   | 0,939   | 0,932   | 0,940   | 0,947            | 0,024                    | +^ Winkel 4         | 0,189 ±0,008            | 0,94   | 0,99   | 0,94   | 0,93   | 0,94   | 0,95            | 0,04                    | 
-^ Winkel 5         | 0,2533             | 0,877   | 0,849   | 0,852   | 0,840   | 0,846   | 0,853            | 0,014                    | +^ Winkel 5         | 0,253 ±0,011            | 0,88   | 0,85   | 0,85   | 0,84   | 0,85   | 0,85            | 0,04                    | 
-Messreihe zur Fallzeit des zweiten Besenstieles mit h<sub>2</sub>=(133,0±0,2)cm für verschiedene Winkel φ und jeweils fünf Messungen pro Winkel. +Messreihe zur Fallzeit des zweiten Besenstieles mit h<sub>2</sub>=(133,0±0,3)cm für verschiedene Winkel $\varphi$ und jeweils fünf Messungen pro Winkel. 
-^ Messung Besen 2  ^ Winkel in //rad//  ^ 1 in s  ^ 2 in s  ^ 3 in s  ^ 4 in s  ^ 5 in s  ^ Mittelwert in s  ^ Standardabweichung in s  ^ +^ Messung Besen 2  ^ Winkel in //rad//  ^ 1 in s  ^ 2 in s  ^ 3 in s  ^ 4 in s  ^ 5 in s  ^ Mittelwert in s  ^ Standardfehler in s  ^ 
-^ Winkel 1         | 0,0469             | 1,25    | 1,33    | 1,34    | 1,32    | 1,32    | 1,31             | 0,04                     | +^ Winkel 1         | 0,0469±0,0028            | 1,25   | 1,33   | 1,34   | 1,32   | 1,32   | 1,31            | 0,04                    | 
-^ Winkel  2        | 0,0941             | 1,084   | 1,105   | 1,088   | 1,107   | 1,095   | 1,095            | 0,011                    | +^ Winkel 2         | 0,094 ±0,005             | 1,08   | 1,11   | 1,09   | 1,11   | 1,10   | 1,10            | 0,04                    | 
-^ Winkel 3         | 0,1257             | 0,977   | 1,005   | 0,990   | 0,990   | 0,968   | 0,986            | 0,014                    | +^ Winkel 3         | 0,126 ±0,006             | 0,98   | 1,01   | 0,99   | 0,99   | 0,97   | 0,99            | 0,04                    | 
-^ Winkel 4         | 0,1890             | 0,871   | 0,866   | 0,873   | 0,850   | 0,854   | 0,863            | 0,010                    | +^ Winkel 4         | 0,189 ±0,008             | 0,87   | 0,87   | 0,87   | 0,85   | 0,85   | 0,86            | 0,04                    | 
-^ Winkel 5         | 0,2533             | 0,790   | 0,750   | 0,766   | 0,747   | 0,741   | 0,759            | 0,020                    |+^ Winkel 5         | 0,253 ±0,011             | 0,79   | 0,75   | 0,77   | 0,75   | 0,74   | 0,76            | 0,04                    | 
 + 
 +----
  
 == Luftreibung == == Luftreibung ==
 +{{ :a_mechanik:kippender_besenstiel:gruppenseiten:gruppe326:besenwerfenohnereibung.jpeg?300|}}
 +Der Grundaufbau bleibt gleich. Es werden nun Messungen für zwei verschiedene Winkel durchgeführt, einmal werden die beiden Winkel gemessen mit einem kleinen Pappestück welches an dem Besenstiel befestigt wird, siehe Bild, und dann werden diese Messungen mit einem größeren Pappestück wiederholt. Als Winkel werden der Einfachheit halber und der besseren Möglichkeit eines späteren Vergleiches Winkel 1 und Winkel 5 aus der vorherigen Messung verwendet. Als Besenstiel wird Besen 1 aus ebenfalls der obigen Messung verwendet mit h<sub>1</sub>=(159,6±0,3)cm. Die Pappoberflächen wurden gemessen mit A<sub>Pappe-1</sub>=(0,300±0,003)m<sup>2</sup> und A<sub>Pappe-2</sub>=(0,532±0,004)m<sup>2</sup>.
 +
 +----
 +
 +Messreihe zur Fallzeit des ersten Besenstieles mit h<sub>1</sub>=(159,6±0,3)cm unter Einfluss größerer Reibung durch ein Pappestück für zwei verschiedene Winkel $\varphi$, zwei verschiedene Pappestücke und jeweils fünf Messungen pro Winkel und Pappe.
 +^ Reibung Besen 1  ^ Winkel in //rad//  ^ 1 in s  ^ 2 in s  ^ 3 in s  ^ 4 in s  ^ 5 in s ^ Pappoberfläche in m<sup>2</sup> ^ Mittelwert in s  ^ Standardfehler in s  ^
 +^Winkel 1 |0,0469±0,0028 |1,65 |1,65 |1,60 |1,55 |1,58 |0,300±0,003 |1,60 |0,04 |
 +^Winkel 1 |0,0469±0,0028 |1,92 |1,90 |1,91 |1,89 |1,92 |0,532±0,004 |1,91 |0,04 |
 +^Winkel 5 |0,253 ±0,011 |0,97 |0,94 |0,99 |0,97 |0,97 |0,300±0,003 |0,97 |0,04 |
 +^Winkel 5 |0,253 ±0,011 |1,08 |1,13 |1,11 |1,12 |1,12 |0,532±0,004 |1,11 |0,04 |
 +
 +----
 +
 +== Numerische Werte ==
 +Durch das Computerprogramm bestimmte numerische Werte. Dienen dem Vergleich zu den experimentellen Werten. h<sub>1</sub> ist der erste und h<sub>2</sub> der zweite Besenstiel.
 +^ Numerisch Besen 1,2  ^ Winkel in rad  ^ Werte für h<sub>1</sub>  ^ Werte für h<sub>2</sub>  ^
 +^Winkel 1 | 0,0469    | 1,398              | 1,279              |
 +^Winkel 2 | 0,0941    | 1,170              | 1,070              |
 +^Winkel 3 | 0,1257    | 1,075              | 0,983              |
 +^Winkel 4 | 0,1890  | 0,941              | 0,861              |
 +^Winkel 5 | 0,2533    | 0,846              | 0,773              |
 +
  
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