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--- a_mechanik:schwingungen [ 6 May 2014 15:36] – chnowak
+++ a_mechanik:schwingungen [24 June 2014 15:01] (current) – chnowak
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 =======Schwingungen=======
-=====Welche physikalischen Größen charakterisieren ganz periodische Schwingungen======
 =====Harmonische-, gedämpfte-, erzwungene Schwingung=====
+====Harmonische Schwingung====
+[{{ :a_mechanik:harmonische_schwingung.jpg?300|}}]
 **Harmonische Schwingungen** sind umgedämpfte Schwingungen, die sinusförmig unendlich weiter Schwingen
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 Schwingungsfunktion:    $x(t)=x_\text{0}\cos (\omega t+\varphi)$
+In der Schwingungsfunktion ist  $x_0$  die Amplitude zum Zeitpunkt t=0. Bei einer harmonischen Schwingung bleib die Amplitude zeitlich erhalten, d.h. sie wird nicht gedämpft und hat für alle Zeiten den gleichen Wert (wie man auch am Graphen ablesen kann).  $\omega \cdot t +\varphi$  bezeichnet man als die Phase und  $\varphi$  alleine ist die Phasenverschiebung.
+Eigenfrequenz: $\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$
+Im Falle der harmonischen Schwingung hängt die Eigenfrequenz  $\omega$  nur von der Federkonstante k und der Masse m ab. Da keine Dämpfung vorliegt ist hier der Dämpfungskoeffizient  $\delta=0$  und fällt somit weg.
+ $\Rightarrow\omega=\sqrt{\frac k m}$
+Im Graphen ist der typische Verlauf einer harmonischen Schwingung zu sehen. Zur Zeit t=0 ist  $x_0=1$  und fällt dann auf den Wert x=-1 zum Zeitpunkt  $t=\pi$  ( $\approx 3.14$ ). Anschließend steigt die Amplitude wieder auf den Wert 1 zum Zeitpunkt  $t=2\cdot\pi$  ( $\approx 6.28$ ) an. Nun hat die Schwingung genau eine Periode beendet und schwingt genau gleich unendlich weiter.
-Eigenfrequenz: $\omega=\sqrt{\frac k m}$
-{{ :a_mechanik:harmonische_schwingung.jpg?300 |}}
-**Gedämpfte Schwingungen** stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab.
+====Gedämpfte Schwingung====
+[{{ :a_mechanik:gedaempfte_schwingung.png?300|}}]
+[{{ :a_mechanik:schwingugnen_mit_verschiendenen_dämpfungen.jpg?300|Hier sieht man die verschiedenen Grenzfälle der gedämpften Schwingung. Diese entstehen durch das Verhältnis von Federkonstanten und Masse zur Dämpfung des Systems  $\delta$ }}]
+**Gedämpfte Schwingungen** stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab.
 Differentialgleichung:  $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=0$
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 Schwingungsfunktion: $x(t)=x_\text{0} e^{-\delta t} \cos (\omega t)$
+wie schon bei der harmonischen Schwingung ist auch hier wieder  $x_0$  die Amplitude, die aber in diesem Fall durch  $e^{-\delta t}$  gedämpft wird. Das bedeutet konkret, dass die Auslenkung (z.B. des Federpendels) exponentiell abnimmt. Die Dämpfung ist im Graphen durch die rote Kurve dargestellt.
 Eigenfrequenz: $\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$
-{{ :a_mechanik:gedämpfte_schwingung.jpg?300 |}}
-**Erzwungenen Schwingungen** wird der schwingende Oszillatior konstant mit einer Anregungsfrequenz  $\omega$  angeregt. Somit schwingt er mit einer konstanten Amplitude
+In diesem Graphen sieht man, wie sich unterschiedliche Dämpfungen auf den zeitlichen Verlauf der Auslenkung auswirkt. Wenn das Quadrat der Dämpfung kleiner ist als das Verhältnis von der Federkonstanten k und der Masse m tritt der zu erwartende Schwingfall mit exponentiellen Abfall der Amplitude. Ist Das Verhä
+====Erzwungene Schwingungen====
+**Erzwungenen Schwingungen** wird der schwingende Oszillator konstant mit einer Anregungsfrequenz  $\omega$  angeregt. Somit schwingt er mit einer konstanten Amplitude. Der Verlauf des Graphen ist genau wie bei einer harmonischen Schwingung.
 Differentialgleichung:  $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=\frac {F_a}{m} \cos (\omega_a t - \varphi)$
+Auf der rechten steht die Kraft  $F_a$  und ein Kosinus für die periodische Anregung. Diese kompensieren die Dämpfung und lassen das System weiter schwingen.
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  $\omega = \omega_a$
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  $\tan \varphi = \frac{2\delta \omega_a}{\omega_0^2-\omega_a^2}$
-======Grenzfälle bei Schwingungen======

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