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b_waermelehre:verdampfungswaerme [28 July 2013 18:10] – schreiberb_waermelehre:verdampfungswaerme [18 April 2022 18:20] (current) – ↷ Links adapted because of a move operation knaak@iqo.uni-hannover.de
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 ====== Verdampfungswärme ====== ====== Verdampfungswärme ======
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-Für den Übergang vom flüssigen zu gasförmigen [[ergaenzungen:begriffe&#aggregatzustand|Aggregatzustand]] ist die zufuhr einer Energiemenge $Q_\mathrm{V}$ nötig, die als **Verdampfungswärme** bezeichnet wird. Dies wird beschrieben durch die **Clausius-Clapeyron-Gleichung**: +Für den Übergang vom flüssigen zu gasförmigen [[archiv:quasi-wikipedia:begriffe#aggregatzustand|Aggregatzustand]] ist die zufuhr einer Energiemenge $Q_\mathrm{V}$ nötig, die als **Verdampfungswärme** bezeichnet wird. Dies wird beschrieben durch die **Clausius-Clapeyron-Gleichung**: 
-$$Q_\mathrm{V}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}(V_\mathrm{D}-V_\mathrm{Fl})\,T\, ,$$+$$Q_\mathrm{V}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}(V_\mathrm{D}-V_\mathrm{Fl})\,T \quad \left[\mathrm{J}\right] \, ,$$
 mit $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}$ der Steigung der Dampfdruckkurve $p_\mathrm{Dampf}(T)$, $V_\mathrm{D}$ dem Volumen des Dampfes, $V_\mathrm{Fl}$ dem Volumen der Flüssigkeit und $T$ der Temperatur während des Übergangs. Diese Gleichung lässt sich anders schreiben als mit $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}$ der Steigung der Dampfdruckkurve $p_\mathrm{Dampf}(T)$, $V_\mathrm{D}$ dem Volumen des Dampfes, $V_\mathrm{Fl}$ dem Volumen der Flüssigkeit und $T$ der Temperatur während des Übergangs. Diese Gleichung lässt sich anders schreiben als
 $$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{Q_\mathrm{V}}{T}\frac{1}{V_\mathrm{D}-V_\mathrm{Fl}}=\frac{\Delta S}{\Delta V}\, ,$$ $$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{Q_\mathrm{V}}{T}\frac{1}{V_\mathrm{D}-V_\mathrm{Fl}}=\frac{\Delta S}{\Delta V}\, ,$$
 mit der Entropieänderung $\Delta S=\frac{Q}{T}$ und der Volumenänderung $\Delta V=V_\mathrm{D}-V_\mathrm{Fl}$. mit der Entropieänderung $\Delta S=\frac{Q}{T}$ und der Volumenänderung $\Delta V=V_\mathrm{D}-V_\mathrm{Fl}$.
  
-Die Verdampfungswärme wird häufig mit $\Lambda$ bezeichnet und bezieht sich dann auf $1\,\mathrm{kg}$ Material das verdampft werden soll. Wenn der Dampf wieder kondensiert wird die Energiemenge $\Lambda$ als Kondensationsenergie wieder frei.+Die Verdampfungswärme wird häufig mit $\Lambda$ bezeichnet und bezieht sich dann auf $1\,\mathrm{kg}$ Material das verdampft werden soll. Wenn der Dampf wieder kondensiert wird die Energiemenge $\Lambda$ als Kondensationsenergie wieder frei. Die molare Verdampfungswärme, also die Wärme die notwendig ist um ein Mol eines gewissen Stoffes zu verdampfen, errechnet sich, indem die Verdampfungswärme durch die [[b_waermelehre:stoffmenge_und_molare_masse|Stoffmenge]] $n$ geteilt wird, 
 + 
 +$$ Q_\mathrm{m} = \frac{Q}{n} \quad \left[\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}}\right] \, .$$
 ===== Herleitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung ===== ===== Herleitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung =====
 [{{ :b_waermelehre:kreisprozessfuerccgleichung.png?200|Kreisprozess zur Herleitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung.}}] [{{ :b_waermelehre:kreisprozessfuerccgleichung.png?200|Kreisprozess zur Herleitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung.}}]
 Zur Herleitung wird ein [[b_waermelehre:p-v-diagramm&#kreisprozesse|Kreisprozess]] betrachtet bei dem das Arbeitsmedium einer ständigen Phasen-Umwandung von flüssig zu gasförmig und zurück unterliegt.  Zur Herleitung wird ein [[b_waermelehre:p-v-diagramm&#kreisprozesse|Kreisprozess]] betrachtet bei dem das Arbeitsmedium einer ständigen Phasen-Umwandung von flüssig zu gasförmig und zurück unterliegt. 
  
-In Zustand 1 ($T+\mathrm{d}T$,$p+\mathrm{d}p$) ist das Arbeitsmedium kondensiert, d.h. flüssig, und nimmt das Volumen $V_\mathrm{flüssig}$ ein. +In Zustand 1 ($T+\mathrm{d}T \, ,\, p+\mathrm{d}p$) ist das Arbeitsmedium kondensiert, also flüssig, und nimmt das Volumen $V_\mathrm{flüssig}$ ein. 
  
 Nun soll das Arbeitsmedium verdampft werden, dazu wird es mit einem Wärmebad der Temperatur $T+\mathrm{d}T$ in Kontakt gebracht und unter Aufnahme von Wärmeenergie $\Lambda$ vergrößert sich das Volumen auf $V_\mathrm{dampf}$ (1->2), dabei verdampft das Arbeitsmedium vollständig. Der Prozess leistet die Arbeit  Nun soll das Arbeitsmedium verdampft werden, dazu wird es mit einem Wärmebad der Temperatur $T+\mathrm{d}T$ in Kontakt gebracht und unter Aufnahme von Wärmeenergie $\Lambda$ vergrößert sich das Volumen auf $V_\mathrm{dampf}$ (1->2), dabei verdampft das Arbeitsmedium vollständig. Der Prozess leistet die Arbeit 
 $$\Delta W_1 = -\left(p+\mathrm{d}p\right)\cdot\left(V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig}\right)\, .$$ $$\Delta W_1 = -\left(p+\mathrm{d}p\right)\cdot\left(V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig}\right)\, .$$
-Im nächsten Teilprozess (2->3) vergrößert sich das Arbeitsmedium durch eine [[ergaenzungen:begriffe&#adiabatisch|adiabatische]] Expansion um einen als klein angenommenen Betrag. Druck und Temperatur verringern sich dabei um die als infinitesimal klein angesehenen Beträge $\mathrm{d}T$ und $\mathrm{d}p$.+Im nächsten Teilprozess (2->3) vergrößert sich das Arbeitsmedium durch eine [[archiv:quasi-wikipedia:begriffe#adiabatisch|adiabatische]] Expansion um einen als klein angenommenen Betrag. Druck und Temperatur verringern sich dabei um die als infinitesimal klein angesehenen Beträge $\mathrm{d}T$ und $\mathrm{d}p$.
  
-Im Zustand 3 ($T$,$p$) angelangt wird das Arbeitsmedium mit einem Wärmebad der Temperatur $T$ in Kontakt gebracht und es findet eine isotherme Kompression statt bis im Zustand 4 der Dampf wieder kondensiert ist (3->4). Dabei wird die externe Arbeit+Im Zustand 3 ($T \, ,\, p$) angelangt wird das Arbeitsmedium mit einem Wärmebad der Temperatur $T$ in Kontakt gebracht und es findet eine [[archiv:quasi-wikipedia:begriffe#isotherm|isotherme]] Kompression statt bis im Zustand 4 der Dampf wieder kondensiert ist (3->4). Dabei wird die externe Arbeit
 $$\Delta W_2=p\cdot\left( V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig} \right)$$ $$\Delta W_2=p\cdot\left( V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig} \right)$$
-aufgewendet und die freiwerdende Energie $\mathrm{d}Q_\mathrm{ab}$ wird abgeführt. Als letzten Schritt findet wieder eine [[ergaenzungen:begriffe&#adiabatisch|adiabatische]] Expansion statt, die ebenfalls als klein angenommen wird (4->1) und es findet eine infinitesimale Erhöhung von Temperatur und Druck statt.+aufgewendet und die freiwerdende Energie $\mathrm{d}Q_\mathrm{ab}$ wird abgeführt. Als letzten Schritt findet wieder eine [[archiv:quasi-wikipedia:begriffe#adiabatisch|adiabatische]] Expansion statt, die ebenfalls als klein angenommen wird (4->1) und es findet eine infinitesimale Erhöhung von Temperatur und Druck statt.
  
 Da die Prozess-Schritte (2->3) und (4->1) als vernachlässigbar angesehen werden, gilt Da die Prozess-Schritte (2->3) und (4->1) als vernachlässigbar angesehen werden, gilt
 $$\Delta W_\mathrm{ges}=\Delta W_1 + \Delta W_2 =-\mathrm{d}p\cdot\left( V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig} \right)\, .$$ $$\Delta W_\mathrm{ges}=\Delta W_1 + \Delta W_2 =-\mathrm{d}p\cdot\left( V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig} \right)\, .$$
  
-Die Clausius-Clapeyron-Gleichung erhält man nun über den Wirkungsgrad $\eta$ durch+Die Clausius-Clapeyron-Gleichung erhält man nun über den [[b_waermelehre:wirkungsgrad|Wirkungsgrad]] $\eta$ durch
 $$\eta = -\frac{\Delta W}{|Q_{1->2}|}=\frac{\mathrm{d}p\cdot(V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig})}{\Lambda}=\frac{\mathrm{d}T}{T+\mathrm{d}T}\approx\frac{\mathrm{d}T}{T}\, .$$ $$\eta = -\frac{\Delta W}{|Q_{1->2}|}=\frac{\mathrm{d}p\cdot(V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig})}{\Lambda}=\frac{\mathrm{d}T}{T+\mathrm{d}T}\approx\frac{\mathrm{d}T}{T}\, .$$
 $$ \frac{\mathrm{d}p\cdot(V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig})}{\Lambda}=\frac{\mathrm{d}T}{T} $$ $$ \frac{\mathrm{d}p\cdot(V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig})}{\Lambda}=\frac{\mathrm{d}T}{T} $$
 $$ \Leftrightarrow Q_\mathrm{V}\equiv\Lambda = \frac{\mathrm{d}p\cdot(V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig}) T}{\mathrm{d}T\cdot\Lambda} $$ $$ \Leftrightarrow Q_\mathrm{V}\equiv\Lambda = \frac{\mathrm{d}p\cdot(V_\mathrm{dampf}-V_\mathrm{flüssig}) T}{\mathrm{d}T\cdot\Lambda} $$
 Dabei wurde ausgenutzt, dass $T\gg \mathrm{d}T$ und $|Q_{1->2}| = \Lambda.$ Dabei wurde ausgenutzt, dass $T\gg \mathrm{d}T$ und $|Q_{1->2}| = \Lambda.$