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d_optikundatomphysik:matrizenoptik [20 December 2016 08:41] – fricked_optikundatomphysik:matrizenoptik [20 December 2016 09:57] (current) – fricke
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 Werden mehrerer Berechnungen angestellt, ist es meißt sinnvoll, zunächst die Gesamtmatrix für das vorhandene System zu berechnen. Seien folgende Werte gegeben: Werden mehrerer Berechnungen angestellt, ist es meißt sinnvoll, zunächst die Gesamtmatrix für das vorhandene System zu berechnen. Seien folgende Werte gegeben:
   * $d_1=5cm$   * $d_1=5cm$
-  * $d_2=15cm$ +  * $d_2=20cm$ 
-  * $f_1=13cm$+  * $f_1=15cm$ 
 +  * $r=1cm$
 Dann ergeben sich darauß folgedne Matrizen: Dann ergeben sich darauß folgedne Matrizen:
  
-  * $L=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{13cm} & 1 \end{pmatrix}$+  * $L=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{15cm} & 1 \end{pmatrix}$
   * $S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$   * $S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
   * $T_1=\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$   * $T_1=\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
-  * $T_2=\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 15cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$+  * $T_2=\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 20cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
  
 Zu berechnen ist also folgendes Gesamtsystems (Von der Lichtquelle bis zum Spiegel und wieder zurück): Zu berechnen ist also folgendes Gesamtsystems (Von der Lichtquelle bis zum Spiegel und wieder zurück):
 \begin{eqnarray} \begin{eqnarray}
 M_{ges}&&=T_1*L*T_2*S*T_2*L*T_1\\ M_{ges}&&=T_1*L*T_2*S*T_2*L*T_1\\
-M_{ges}&&=\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{13cm} & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 15cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 15cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{13cm} & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ +M_{ges}&&=\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{15cm} & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 20cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 20cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{15cm} & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ 
 +M_{ges}&&=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\
 \end{eqnarray} \end{eqnarray}
 Um den auftreffort auf dem Spiegel zu berechnen, muss folgendes System berechnet werden. Dieses mal muss auf die umgekehrte Reihenfolge geachtet werden: Um den auftreffort auf dem Spiegel zu berechnen, muss folgendes System berechnet werden. Dieses mal muss auf die umgekehrte Reihenfolge geachtet werden:
 \begin{eqnarray} \begin{eqnarray}
 M_{halb}&&=T_2*L*T_1\\ M_{halb}&&=T_2*L*T_1\\
-M_{halb}&&=\begin{pmatrix} 1 & 15cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{13cm} & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\+M_{halb}&&=\begin{pmatrix} 1 & 20cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{15cm} & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 5cm \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ 
 +M_{halb}&&=\begin{pmatrix} \frac{-1}{3} & \frac{55}{3} \\ \frac{-1}{15} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}
 \end{eqnarray} \end{eqnarray}
 ==Trivialbeispiel== ==Trivialbeispiel==
 Ein lichtstrahl trifft auf eine Linse und anschließend auf einen Spiegel. Dabei befindet er sich auf der optischen Achse (In der Abbildung grün eingezeichnet). Ein lichtstrahl trifft auf eine Linse und anschließend auf einen Spiegel. Dabei befindet er sich auf der optischen Achse (In der Abbildung grün eingezeichnet).
-Der Vektor dieses Lichtstrahls ist also $\vec{G}=\bigl(\begin{smallmatrix} r_g \\ \alpha_g \end{smallmatrix}\bigr)$ mit $r_g=0$ und $alpha_g$. Der Lichtstrahl wird also ledigtlich reflektiert und besitzt nach dem er wieder am ausgangsort angekommen ist den gleichen abstand und Winkel zur optsichen Achse wie am start.+Der Vektor dieses Lichtstrahls ist also $\vec{G}=\bigl(\begin{smallmatrix} r_g \\ \alpha_g \end{smallmatrix}\bigr)$ mit $r_g=0$ und $\alpha_g=0$. Der Lichtstrahl wird also ledigtlich reflektiert und besitzt nach dem er wieder am ausgangsort angekommen ist den gleichen abstand und Winkel zur optsichen Achse wie am start. 
 + 
 +==Auftrittsort des Roten Strahls auf dem Spiegel== 
 +Der Vektor für den roten Strahl ist : 
 +$$\vec{R}=\bigl(\begin{smallmatrix} r_r \\ \alpha_r \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)$$ 
 +Um den Auftrittsort am Spiegel zu berechnen muss nun also folgende Operation ausgeführt werden: 
 +$$M_{halb}*\vec{R}=\begin{pmatrix} \frac{-1}{3} & \frac{55}{3} \\ \frac{-1}{15} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}*\bigl(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} \frac{-1}{3} \\ \frac{-1}{15} \end{smallmatrix}\bigr)=\vec{R_{neu}}$$ 
 + 
 +Der Strahl trifft also bei $r_{rneu}=\frac{-1}{3}$ auf den Spieg. Die enspricht einer entfernung von $\frac{-1}{3}$cm zur optischen Achse. Das minus gibt dabei an, das er sich auf der anderen Seite der optischen Achse befindet, da sein ausgangsort als Positiv definiert wurde. Außerdem hat er jetzt einen winkel von $\frac{-1}{15}$, verläuft also nicht mehr parallel zur optischen Achse. Dies ist in der Abbildung erkennbar. 
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