Torsionsschwingungen mit dem Drehpendel - Das Ersatzprotokoll der Gruppe 322

Das Physikpraktikum geht in eine zweite Home-Lab-Runde. Diese Wiki soll dabei unser Protokollheft mit Vorüberlegungen, Messdaten und kurzen Beschreibungen ersetzen. Dabei wurde der Versuch von Kira Bode und Anton Gericke (Gruppennummer: 322) durchgeführt.

Theoretische Betrachtung

Diese Überlegungen dienen einer ersten theoretischen Auseinandersetzung mit dem Thema und sind somit Basis für die anschließende Durchführung und Betrachtung.

Aufgabe: Berechnen Sie aus der Kreisfrequenz die Schwingungsdauer T.

mit folgt:

1. Welche Anfangsbedingungen führen auf die Lösung $\varphi(t)=\varphi_{0}\,cos(\omega\,t);\omega=\sqrt{\frac{D_{R}}{I}}$?

Zum Lösen der relevanten Bewegungsgleichung wird der trigonometrische Ansatz mit der Konstanten C ausgewählt.

Dieser wird in die Bewegungsgleichung eingesetzt und somit der Zusammenhang für dargestellt. Zu Beachten ist dabei, dass an dieser Stelle nicht die übliche Winkelgeschwindigkeit der Rotation, sondern die Winkelgeschwindigkeit der Pendelbewegung beschreibt [Mes15, S. 86].

Um die Konstante C zu bestimmen, müssen zudem Anfangsbedingungen gesetzt werden:

Damit folgt durch Einsetzen die gegebenen Bewegungsgleichung.

2. In welchen Einheiten werden D, $D_R$, I, $\varphi$ gemessen?

Formelzeichen	Bezeichnung	Einheit	Analoge Bezeichnung
D	Drehmoment	M
Winkel	rad	/
I	Trägheitsmoment	J
Winkelrichtgröße, Direktionsmoment	D
G	Schubmodul, Torsionsmodul	/
L	Länge des Drahtes	m	/
r	Radius des Drahtes	m	/

3. Setzen Sie Gl. (3) in Gl.(2) ein und beweisen Sie damit die Beziehung für $\omega$.

Um den gegebenen Zusammenhang für zu beweisen, werden Gleichung und in die Bewegungsgleichung eingesetzt.

Durch Umformung folgt:

Der gegebene Zusammenhang kann somit nachgewiesen werden.

4. Wie kann man ein Drehmoment experimentell bestimmen?

Zur Bestimmung des Moments im Allgemeinen werden an dieser Stelle zwei Varianten aufgeführt. Die erste äußert sich durch das Messen der Kraft mit einer Federwaage oder dem Bestimmen der Masse mit anschließender Berechnung der Gewichtskraft. Ist dabei der Abstand r der Masse m zur Aufhängung, also die Länge des Hebelarms bekannt, kann über den Zusammenhang der Betrag des Drehmoments berechnet werden. Da allerdings das Drehmoment eine vektorielle Größe ist (), müssen bei dieser Betrachtungsweise entweder die Kraft und der Abstand orthogonal zueinander sein oder die resultierende Kraft bzw. Abstand über trigonometrische Beziehungen berechnet werden.

Eine weitere Variante stellt die Bestimmung des Moments über die Pendeldauer T dar, was teils in diesem Versuch Anwendung findet. Ist die Periodendauer messbar, sowie das Trägheitsmoment I, die Länge des Drahtes L und der Radius des Drahtes r bekannt, kann das Schubmodul G anhand von der obenen benannten Formel für die Periodendauer bestimmt und mit folgender Gleichung das Moment bezüglich eines Drehwinkels festgestellt werden [TMK19, S. 364–365].

5. Auf das System wirke ein Drehmoment D. Wie groß ist die Arbeit dW, wenn das System um $d \varphi$ gedreht wird? Welche Änderung an Rotationsenergie entspricht dem? Benutzen Sie den Energiesatz, um mit diesen Beziehungen die Gl.(2) zu zeigen.

In einem ersten Schritt wird die Energie der Rotationsbewegung in Analogie zur Translationsbewegung betrachtet.

translatorisch	rotatorisch
Arbeit/Energie	[TMK19, S. 314]
kinetische Energie	[TMK19, S. 296]

Mit dieser Auflistung und der folgenden Berechnung kann der Zusammenhang bewiesen werden:

Mit folgt:

6. Wie lautet der Steinersche Satz?

Wenn das Trägheitsmoment eines Körpers der Masse m bezüglich der Achse durch seinen Schwerpunkt bzw. durch eine seiner Hauptträgheitsachsen bekannt ist, kann das Trägheitsmoment bezüglich einer zur dieser parallelen Achse mithilfe des folgenden Zusammenhangs mit dem senkrechten Abstand der beiden Achsen berechnet werden. Da in diesem Versuch die Aufhängung im Schwerpunkt erfolgt, sodass eine Hauptträgheitsachse entlang der Saite verläuft, hat der Satz für das Experiment wenig Relevanz.

Messung der Periodendauer zur Bestimmung des Torsionsmodul G

Darstellung des Versuchsaufbaus und der Durchführung

Zur Messung der Periodendauer wurde eine Kleiderstange zu Hilfe genommen, die derart hoch eingestellt wurde, dass das Drehpendel frei schwingen/tordieren konnte. Anschließend wurde das jeweilige Torsionsmaterial (z.B. Gitarrensaite) um diese Stange gewickelt und durch Verdrillung befestigt. An das Ende dieses Material wurde folglich der jeweilige Körper (Stab, Telefon, Schuh) angehängt und die Periodendauer für eine Periode bei einer Anfangsauslenkung gemessen. Die Messdaten sind in den folgenden Unterkapitel dargestellt.

Stab
Masse	Länge	Radius

M1: Messung mit der Gitarrensaite als Aufhängung

Messung der Dicke der Gitarrensaiten:

Messung einer Periodendauer:

Länge L [cm]	[s]	[s]	[s]	[s]	[s]
84,4	12,24	13,31	12,77	13,15	12,83
75,3	12,35	12,29	12,24	12,03	12,67
65,9	11,73	11,54	11,68	11,35	11,82
58,3	10,53	10,79	10,31	10,66	10,73
50,4	10,47	10,15	10,35	10,39	10,21

M2: Messung mit dem Gummiseil als Aufhängung

Messung der Dicke des Gummiseils:

Messung einer Periodendauer:

Länge L [cm]	[s]	[s]	[s]	[s]	[s]
24,3	29,37	29,01	29,51	28,6	28,9

Messung der Periodendauer zur Bestimmung des Trägheitsmomentes

Darstellung des Versuchsaufbaus und der Durchführung

Anstatt des Stabes werden in den weiteren zwei Versuchen zwei unterschiedliche Körper verwendet. Als Torsionsmaterial wird abermals die Gitarrensaite verwendet.

M3: Messung mit einem Telefon als angehängten Körper

Länge L [cm]	[s]	[s]	[s]	[s]	[s]
35,2	9,45	9,13	9,02	9,05	9,3

M4: Messung mit einem Schuh als angehängten Körper

Länge L [cm]	[s]	[s]	[s]	[s]	[s]
51,2	16,08	15,86	16,15	16,04	16,02

Literatur

[Mes15]	Dieter Meschede, Hrsg.Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer-Lehrbuch. Berlin undHeidelberg: Springer Spektrum, 2015.ISBN: 978-3-662-45977-5
[TMK19]	Paul A. Tipler, Gene Mosca und Peter Kersten.Physik: Für Studierende der Naturwissenschaften und Technik. 8th ed. 2019. ISBN: 978-3-662-58281-7 .doi:10.1007/978-3-662-58281-7