gruppe327

Theorie

Aufgabe Kreisfrequenz und rücktreibenes Drehmoment

Für die Kreisfrequenz gilt allgemein . Also ist die Periodendauer . Nun ist , weshalb wir für die Periodendauer folgendes erhalten: Das rücktreibene Drehmoment ergibt sich aus , wobei G das Torsionsmodul des Materials ist, r der Radius des Drahtes und L die Länge des Drahtes. Wir wollen mittels einer kleinen Rechnung den Einfluss von dem Radius betrachten, da dieser mit der vierten Potenz eingeht. Hierzu wählen wir , und für die Radien einmal und einmal . Dann ergibt sich für das rücktreibene Drehmoment einmal und einmal . Man kann also bei einem kleinen Unterschied im Radius einen ernormen Effekt beobachten.

Aufgabe 1

Um zu überprüfen, welche Anfangswerte auf die Lösung führen, betrachten wir zu erst die DGL . Dabei handelt es sich um eine homogene gewöhnliche Differentialgleichung der 2. Ordnung, die uns an die des harmonischen Oszillators bzw. an die DGL des Federpendels erinnert. Daher wissen wir, dass die Lösung dieser DGL allgemein von der Form und sein muss. Wir wollen uns nun die Anfangswerte überlegen. Zum Startpunkt hat das Drehpendel eine Startauslenkung . Daher sollte einer der Anfangswerte sein. Weiterhin hat das Pendel bei dem Zeitpunkt keine Geschwindigkeit. Daher sollte für die zweite Anfangsbedingung gelten . Dies wollen wir nun überprüfen, indem wir die Anfangswerte einsetzen. Dazu benötigen wir erst die erste zeitliche Ableitung von . Sie lautet: . Damit ergibt sich: Damit ergibt erhalten wir , was genau die Lösung (3) der DGL ist. Das heißt es führen die Anfangswerte und zur Lösung (3).

Aufgabe 2

Wir wollen nun die Einheiten von ,, und betrachten. Da ein Drehmoment ist wird dieses in der Einheit Nm gemessen (also ). ist ein Trägheitsmoment, also ist die Einheit . Da ein Winkel ist, ist seine Einheit entweder oder im Bogenmaß . Für gilt die Beziehung . Daher ist die Einheit bzw. .

Aufgabe 3

Wir wollen nun die Gl. (3) in Gl.(2) des Begleitmaterials einsetzen, um so die Beziehung für zu beweisen. Man erhält: Damit haben wir die Beziehung für bewiesen und es gilt .

Aufgabe 4

Wir können das Drehmoment mithilfe der Beziehung bestimmen. Wenn wir für die Startauslenkung nehmen, so können wir das maximale Drehmoment für die enstprechende Messung berechnen, da der Winkel aufgrund der Luftreibung immer kleiner wird. Das rücktreibene Drehmoment berechnet man mit , wobei G das Torsionsmodul des Materials ist, r der Radius des Drahtes und L die Länge des Drahtes. G lässt sich hier experimentell bestimmen.

Aufgabe 5

Das Drehmoment ist vergleichbar mit der Kraft, nur dass hier eine Drehbewegung statt eine geradlinige Bewegung sattfindet. Damit können wir Rückschlüsse auf die Arbeit schließen. Für die Kraft gilt . Nun haben wir hier aber einen Winkel statt eine geradlinige Bewegung. Das heißt es wird eine Arbeit verrichtet, wenn zwischen zwei Winkeln ein konstanter Drehmoment wirkt. Das heißt, es gilt . Dann erhalten wir die Beziehung für die Arbeit. Die Rotationsenergie ist . Es ist also als Änderung an Rotationsenergie. Damit ergibt sich: Mit erhalten wir die Beziehung aus Gleichung 2 vom Begleitmaterial.

Aufgabe 6

Der Steinersche Satz lautet: . Dabei ist das Trägheitsmoment um die Rotationsachse, die durch den Schwerpunkt des Körpers geht. ist die Rotationsachse, die parallel zu liegt. ist die Entfernung zwischen den beiden Achsen und M ist die Gesamtmasse des Körpers. Bei unserem Verusch benötigen wir den Steinerschen Satz aber nicht, da wir die Hauptträgheitsachsen nutzen.

Experimente

Aufbau

Trägheitsmoment des Stabes

Gemessen haben wir: Das ergibt:

Messwerte

Gemessen mit einer Schieblehre: Durchmesser des Drahtes

Messwerte zum Torsionsmodul des Drahtes für die Metallstange

l in cm	T5 in s
15,2	9,62
20	10,26
25,3	11,61
32	13,03
34,8	13,19
40,2	14,14
44	14,89
48,8	15,21
51	15,83
58	17,16

Unsicherheiten

Unsicherheit für die Zeitmessung bei Person1

Die Zeiten sind jeweils die Differenz zu 5s.

reaction times in s
0.083093
0.051097
0.495546
-0.103990
0.066115
0.020986
0.252353
0.217290
-0.103093
0.183252

Durchschnitt der Absolutwerte der Reaktionszeiten = 0,16s

Verschiedene Aufhängungen

Im folgenden haben wir verschiedene Aufhängungen versucht und dabei Videos aufgenommen um ihr Drehverhalten zu überprüfen. Zuerst einmal das Video, in dem wir die Gitarrensaite verwendet haben. Die Saite, die hier verwendet wurde, ist nicht die Saite, welche zum Messen verwendet wurde. Sie dient lediglich zur Veranschaulichung: draht.mp4 Als nächstes haben wir einen dickeren Bindfaden verwendet. Beim ersten Video haben wir eine Startauslenkung angenommen: dickerfadenauslenkungbesser.mp4 Hier wurde wieder der dickere Bindfaden verwendet, nur das wir statt einer Startauslenkung dem Stab einen Impuls gegeben. dickerfadenmitimpuls.mp4 Nun haben wir einen dünnen Bindfaden verwendet. Hier mit einer Startauslenkung: duennerbindfadennurstartauslenkung.mp4 Hier wieder mit einem Startimpuls: duennerbindfadenimp.mp4 Als nächstes haben wir ein paar Gummibänder zerschnitten und diese zusammengeknotet und diese dann als Aufhängung verwendet. Hier mit einer Startauslenkung: gummiband1.mp4 Als letztes haben wir einen Schnürsenkel ausprobiert. Wieder mite einer Startauslenkung. schnursenkel.mp4

Näheres dazu im Bericht im Kap — .

Verschiedene Geometrien

Kugel

Quader

. Höhe, Breite und Tiefe bezogen darauf, dass das Buch Plan auf dem Tisch liegt (im BIld anders). Bei einer Drahtlänge von wurde eine Periodendauer von gemessen.