Besenstiel -- gruppe351

Der Versuch wurde durchgeführt von: Nele-Marie Knoop und Tobias Otte

Einführung

Bei diesem Versuch geht es um die Bestimmung des Einflusses von Stab-länge, -masse und dem Anfangswinkel auf den zeitlichen Ablauf der Kippbewegung eines fallenden Besenstiels. Hierzu werden zwei Besenstiele verschiedener Länge aus unterschiedlichen Winkeln fallen gelassen, wobei die Zeit mit einer Stoppuhr gemessen wird.

Versuchsaufbau

Bei dieser Durchführung wurden Besenstiele der Länge 1,23m und 1,425m genutzt. Zur Messung des Winkels wurde eine Konstruktion bestehend aus einer Wasserwaage und eines Geodreiecks, mittels Klebeband erstellt, wobei die Fallzeit mit Hilfe einer manuellen Stoppuhr bestimmt wurde. Die Konstruktion ist im folgenden Bild erkenntlich:

Messwerte

Besenstiel 1

Länge:142,5 cm (+/-2mm)

Zeit in s	Winkel in Grad
1,6	10
1,13	10
1,13	10
1,06	10
1,06	10
0,92	20
0,93	20
0,87	20
0,85	20
0,87	20
0,73	30
0,72	30
0,74	30
0,73	30
0,74	30
0,66	40
0,6	40
0,66	40
0,6	40
0,64	40
Mittelwert der Zeit in s	rad
1,196	0,17453293
0,888	0,34906585
0,732	0,52359878
0,632	0,6981317

Besenstiel 2

Länge:123 cm(+/-2mm)

Zeit in s	Winkel in Grad
0,93	10
0,98	10
0,99	10
0,92	10
0,93	10
0,73	20
0,73	20
0,74	20
0,74	20
0,73	20
0,61	30
0,59	30
0,57	30
0,59	30
0,6	30
0,48	40
0,54	40
0,47	40
0,48	40
0,5	40
Mittelwert der Zeit in s	rad
0,95	0,17453293
0,734	0,34906585
592	0,52359878
0,494	0,6981317

Messfehler

Es entstehen durch verschiedene Faktoren Messfehler:

Schrecksekunde bei der Zeitmessung (+/-95ms), weil der Start und Stoppknopf nicht genau beim Loslassen und Aufprall gedrückt werden

Fehler beim Ablesen des Winkels (+/-2°) bzw. (+/- 0,03490659 rad), da der Stab zu dick und das Geodreieck zu klein sind um diesen genau abzulesen und sich nach der Winkelmessung die Haltung der Hand noch verändern könnte.

Fehler beim Ablesen der Länge (+/-2mm)

Schwankungen beim Halten

Anstoßen beim Fallen lassen (Der Stab fällt schneller, wodurch T kleiner wird)

ein Abrutschen des Besens (Der Stab könnte auf dem Boden beim Fall wegrutschen, was das Messergebnis ungenau machen würde)

ein unebener Boden (Es sind nicht genau 90°)

die Winkel sind nicht genau bestimmbar (da der Stab sehr dick und das Geodreieck sehr klein ist)

der Start und Stoppknopf der Stoppuhr wird verzögert gedrückt (was dazu führt dass das gemessene T von dem realen T abweicht)

All diese Messfehler stellen systematische Fehler dar.

Die Zeitabweichung wurde hierbei durch das Durchführen von 10 Messungen mit der Stoppuhr bestimmt:

0,2; 0,09; 0,09; 0,09; 0,1; 0,22; 0,09; 0,09; 0,08; 0,08

Der Mittelwert beträgt 0,095 s

Des Weiteren wurde mit OpenOfficeCalc die Standardabweichung der Messwerte berechnet: unbenannt_4.ods

Um die Standardabweichung zu bilden wird zunächst der Mittelwert (Sume der Messwerte durch Anzahl dieser) der Messwerte gebildet. Dann wird von jedem Messwert der Mittelwert abgezogen, das Ergebnis davon wird dann quadriert. Nun wird die Summe dieser Quadrate gebildet, welche dann wieder durch die Anzahl der Messwerte geteilt wird. Von diesem Ergebnis wird dann die Wurzel gezogen, was dann die Standardabweichung ergibt. Da OpenOfficeCalc jedoch einen Befehl für die Standardabweichung (STABW()) enthält, wurde dieser für die Berechnung genutzt.

Computerprogramm

Das Zeitschrittverfahren löst Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen, vom Anfangswinkel in Abhängigkeit von der Zeit ausgehend, von Zeitschritt zu Zeitschritt. Folgendes Dokument enthält eine Dokumentation eines solchen Programms:

programm_zur_modellierung_des_kippenden_besenstiels.pdf

Bei diesem Versuch gibt es zwei Kräfte. Zum einen gibt es die Erdanziehungskraft, welche den Stiel in Richtung Boden beschleunigt, und zu anderen eine Zwangskraft, welche durch die Stabilität des Stiels entsteht. Diese Zwangskraft sorgt dafür, dass jeder Punkt auf dem Besenstiel immer den selben Abstand zu dem Punkt hat, auf welchem der Besenstiel aufliegt. Stellt man den Besen nun im 90° Winkel hin, so wirkt die Erdanziehung gerade Richtung Boden und und die Zwangskraft dieser genau entgegen. Dabei gleichen sich die beiden Kräfte genau aus und der Besen kippt ohne äußere Einwirkung nicht um. Lenkt man nun Das System ein wenig aus, so wirkt die Zwangskraft der Erdanziehung nicht mehr direkt entgegen und das System wird Richtung Boden beschleunigt. Nun muss aber durch die Zwangskraft des Stiels der Abstand zum Aufsetzpunkt immer gleich bleiben muss, wird ein Teil dieser Beschleunigung zur Seite gelenkt, wodurch eine Kippbewegung entsteht. Nun wirkt die Zwangskraft aber immer vom Boden in Richtung des Stiels. Wenn man also die Auslenkung erhöht, so verringert man den Anteil, welcher der Erdanziehung entgegen wirkt. Dadurch erhöht sich die Beschleunigung Richtung Boden je weiter das System ausgelenkt ist. Also erhöht sich während der Kippbewegung im System die Beschleunigung, was sich im Computerprogramm auch widerspiegelt. Das Ende der Kurve hingegen lässt sich darüber erklären, dass die Höhe des äußersten Punktes abnimmt. Dadurch wird die Zeit der Beschleunigung bis zu Aufschlag reduziert und damit auch die Durschnittliche Geschwindigkeit.Damit wird der Weg der in einem Zeitintervall überwunden wird geringer und der Abfallder Kurve wird geringer. Dadurch entsteht ein Ende, wie beim freien Fall, was einem exponentiellen Abfall ähnelt. Dabei entsteht durch die Überlagerung beider Situationen der hier vorhandene quasi logarithmische Verlauf.

Grafiken

Besenstiel 1

Besenstiel 2

Vergleich zum Zeitschrittverfahren

Auswertung der Messergebnisse

Bei dem Besenstiel handelt es sich um einen starren Körper und bei der Kippbewegung um eine Rotation um eine Achse auf dem Boden senkrecht zu Fallrichtung und dem stehenden Besenstiel. Nun kann das System über die Energie definiert werden. Dabei lässt sich die potentielle Energie im System eines starren Körpers m*g* h, wobei h die Höhe des Schwerpunktes, g die Erdbeschleunigung und m die Masse definiert. Da der Stiel näherungsweise eine Gleichmäßige Massenverteilung beinhaltet ist das hier die halbe Stiellänge l/2. Für die kinetische Energie T hingegen gilt bei starren Körpern T= ½ * I * w^2, wobei I für das Trägheitsmoment des Stabs, was bei der Rotation durch I = ½ m * l^2 und w die Winkelgeschwindigkeit beschreibt. Steht der Stiel gerade, so gibt es keine kinetische Energie und die potentielle Energie beläuft sich auf l/2. Fängt der Besen in zu kippen so verringert sich die Höhe und man erhält eine kinetische Energie. Bildet man nun geometrisch betrachtet ein Dreieck zwischen Hochachse und dem gekippten Stiel spannt, kann man die Höhe vom Auslenkungswinkel phi und der halbe Stablänge abhähngig machen. Dabei ergibt sich die Höhe von l/2 * cos(phi). Da aber in diesem System die Energie erhalten bleibt folgt dabei: m*g* l/2 = m*g* l/2 * cos(phi) + ½ * ½ m * l^2 * w^2. Dabei kürzt sich die Masse aus der Gleichung raus. Stellt man nun die Formel nach der w um so ergibt sich: w = Wurzel1) 3(g-g*cos(phi )/l) = Wurzel2) 3g(1-cos(phi )/l). In diesem Falle kann die Länge l auf jeden Punkt des Stiels übertragen werden. Diese entspricht hier nämlich dem Abstand zum Boden.

Betrachtet man nun den Verlauf des kippenden Besenstiels, so stellt man fest, dass bei der Fall bei kleinen Winkel für die Fallzeit erst immer schneller abnimmt, diese Entwicklung dann immer weiter abflacht, bis dann irgendwann der Abfall der Zeit immer geringer wird. Dies lässt sich mit der Höhe und der Geschwindigkeit des Falls erklären. Wenn man nämlich die Formel von der Theorie mit einem Startwinkel ausstattet, so erhält man einfach in der Wurzel statt “1-cos(phi)“ „cos(Phi0)-cos(phi1)“. Das bedeutet das am Ende die maximale Geschwindigkeit geringer wird und damit auch die durchschnittliche Geschwindigkeit abnimmt. Nun verändert sich zum Winkel aber auch die Fallhöhe. „(Betrachtet man den Fall von beispielsweise den äußersten Punktes des Stiels, so kann man die Bahn dieses Massenpunktes als eine Kreisbahn beschreiben welche im höchsten Punkt startet und in diesem Falle mit dem Uhrzeigersinn fällt. Wenn man aber auf diesem Kreis sich nur wenig vom höchsten Punkt sich entfernt nimmt die Höhe nur ein wenig an. Wenn man sich aber weiter entfernt nimmt dieser Abfall der Höhe immer mehr zu. Nun ist hier beides gleichzeitig vorhanden. Also ist bei kleineren Startwinkeln die Steigung der Geschwindigkeit stärker, als der Höhenunterschied. Bei größeren Winkeln wird dieser Unterschied immer kleiner bis am Ende der Verlust der Höhe stärker ist als der Gewinn an Beschleunigung)“

Der Stab fällt mit der potentiellen Energie E=m*g*l/2, diese wird dazu in kinetische Energie umgewandelt. Am Anfang sieht man, dass die Zeit des Falls ab einem bestimmten Winkel erst stark abnimmt und dann diese verringerte Zeit immer weniger wird. Je größer dabei die Stablänge und kleiner der Startwinkel sind, desto länger dauert der Fall also. Aus diesem Grund sollte ein möglichst langer Stab verwendet werden, welcher möglichst nahe am 90° Winkel balanciert wird. Wen der Jongleur es sich möglichst leicht machen will, so nimmt er zum einen einen großen Stiehl wählt, da dann mehr Reaktionszeit für die Gegenbewegung vorhanden ist. Dann sollte er probieren den Auslenkungswinkel gering zu halten, da bei größerem Winkel die Beschleunigung Zeit weniger wird. Leichter wird das Balancieren außerdem, sollte man ihn quer auf 2 Finger legen und diese zusammenschieben, bis der Schwerpunkt erreicht ist.

Einfluss der Reibung

Durchführung

Um den Einfluss der Reibung auf den Fall des Stabes herauszufinden, wird ein Blatt Papier daran befestigt und die Fallzeit sowohl mit, als auch ohne Papier wieder mittels der Stoppuhr erfasst.

Messwerte

reibung.ods

erhöhte Reibung

Zeit in s	Winkel in rad
1,014	0,175
0,536	0,698

ohne Reibung

Zeit in s	Winkel in rad
0,95	0,175
0,494	0,698

Grafik

Auswertung

Das Gewicht des Stabes spielt ohne Luftwiederstand keine Rolle, mit Luftwiederstand jedoch die Beschaffenheit dieses, da der Besenstiel dann ausgebremst wird und immer langsamer fällt. Dies wird von diesem Versuch bestätigt.

Fazit

Beschreibung des Verlaufs der Kurve:

Am Anfang sieht man, dass die Zeit des Falls ab einem bestimmten Winkel erst stark abnimmt und dann diese verringerte Zeit immer weniger wird.

Vergleich zum freier Fall und Kippbewegung:

In beiden Fällen wird ein Objekt durch die Erdanziehung beschleunigt. Allerdings ist das beim freien Fall die einzige relevante Komponente, welche die Fallbewegung beschreibt. Bei der Kippbewegung hingegen gibt es noch die Zwangskraft durch die Stabilität des Stiels. Diese sorgt zum einen für einen langsameren Fall wenn man nur die Höhere betrachtet und zum anderen für eine Auslenkung zur Seite, da ein einzelner Punkt im Systems des Stiels immer den selben Abstand zum Nullpunkt behält.

Theoretische Beschreibung des kippenden Besenstiels ohne Reibung:

Bei diesem Versuch gibt es zwei Kräfte. Zum einen gibt es die Erdanziehungskraft, welche den Stiel in Richtung Boden beschleunigt, und zu anderen eine Zwangskraft, welche durch die Stabilität des Stiels entsteht. Diese Zwangskraft sorgt dafür, dass jeder Punkt auf dem Besenstiel immer den selben Abstand zu dem Punkt hat, auf welchem der Besenstiel aufliegt. Stellt man den Besen nun im 90° Winkel hin, so wirkt die Erdanziehung gerade Richtung Boden und und die Zwangskraft dieser genau entgegen. Dabei gleichen sich die beiden Kräfte genau aus und der Besen kippt ohne äußere Einwirkung nicht um. Lenkt man nun Das System ein wenig aus, so wirkt die Zwangskraft der Erdanziehung nicht mehr direkt entgegen und das System wird Richtung Boden beschleunigt. Nun muss aber durch die Zwangskraft des Stiels der Abstand zum Aufsetzpunkt immer gleich bleiben muss, wird ein Teil dieser Beschleunigung zur Seite gelenkt, wodurch eine Kippbewegung entsteht. Nun wirkt die Zwangskraft aber immer vom Boden in Richtung des Stiels. Wenn man also die Auslenkung erhöht, so verringert man den Anteil, welcher der Erdanziehung entgegen wirkt. Dadurch erhöht sich die Beschleunigung Richtung Boden je weiter das System ausgelenkt ist. Also erhöht sich während der Kippbewegung im System die Beschleunigung, was sich im Computerprogramm auch widerspiegelt. Das Ende der Kurve hingegen lässt sich darüber erklären, dass die Höhe des äußersten Punktes abnimmt. Dadurch wird die Zeit der Beschleunigung bis zu Aufschlag reduziert und damit auch die Durschnittliche Geschwindigkeit.Damit wird der Weg der in einem Zeitintervall überwunden wird geringer und der Abfallder Kurve wird geringer. Dadurch entsteht ein Ende, wie beim freien Fall, was einem exponentiellen Abfall ähnelt. Dabei entsteht durch die Überlagerung beider Situationen der hier vorhandene quasi logarithmische Verlauf.

Massenunabhängigkeit der Fallbewegung ohne Reibung:

Wie in der Theorie beschrieben wird der Besen durch die Erdanziehung in Richtung des Bodens beschleunigt und durch eine Zwangskraft wird diese Kraft reduziert. Nun ist aus dem freien Fall bekannt, dass die Masse für die Zeit des Falls nicht relevant ist, sondern nur die Kraft, die beim Aufprall auf dem Boden wirkt. Nun ist aber auch die Beschleunigung durch die Zwangskraft nicht massenabhängig, da diese ja nur den Abstand zum Nullpunkt erhält. Deshalb ist die Fallzeit des Versuch ohne Reibung nicht von der Masse abhängig. Da die Reibung in diesem Versuch nach der Erkenntnis einer Messung bei größeren Änderungen nicht besonders groß ausfällt wird hier also von Massenunabhängigkeit im Versuch ausgegangen.

Ergebnis für den Jongleur:

Wen der Jongleur es sich möglichst leicht machen will, so nimmt er zum einen einen großen Stiehl wählt, da dann mehr Reaktionszeit für die Gegenbewegung vorhanden ist. Dann sollte er probieren den Auslenkungswinkel gering zu halten, da bei größerem Winkel die Beschleunigung Zeit weniger wird.