Schwerpunkt

Der Schwerpunkt ist die Summe über mehrere Massenpunkte unter Berücksichtigung iher Position.

Im Bild werden bereits die Mittelpunkte der Kreise als Massepunkte angenommen. Der Schwerpunkt eines runden Objektes liegt bei homogener (gleichmäßiger) Massenverteilung immer im Mittelpunkt.

Mathematische Beschreibung

Berechnung des Schwerpunktes zweier Massen

Um den Schwerpunkt zweier Massen und an den Orten und zu berechnen, gilt folgende Gleichung:

Hierbei ist:

der Schwerpunkt angegeben in der Einheit des verwendeten Abstandes

, Gewichte der Massen

Der Abstand der beiden Massen

Für unser Beispiel aus der Abbildung sähe das folgendermaßen aus:

mit:

der Schwerpunkt angegeben in der verwendeten Einheit des Abstandes

Masse mit 2Kg

Masse mit 1Kg

Der Abstand der beiden Massen (, da ganz vorne (Position 0) und ganz hinten (Position 1))

Die Positionen der Massen ( und ) sind im Bild von links nach rechts auf einer Achse abzulesen. Um die Abstände zu berechnen, muss ein Koordinatensystem festgelegt werden. In diesem Fall hat es lediglich eine Achse entlang der Verbindungslinie der Masse Schwerpunkte und der Ursprung (Nullpunkt) ist bei . Koordinaten sind somit immer Abstände zum Ursprung der Achse. hat also den Abstand zu der Masse mit . (In der Abbildung ist der Abstand nur im Verhältnis angegeben. Normalerweise liegen diese Angaben in Metern vor.)

Berechnung des Schwerpunktes mehrerer Massen entlang einer Linie

Für drei Massen gilt:

mit:

der Schwerpunkt angegeben in der verwendeten Einheit des Abstandes

,, Massen

,, Orte der Massen

Diese Schreibweise gilt auch für zwei Massen:

Aus der Gleichung für zwei Massen ist die Gleichung für mehrere Massen herleitbar. Dafür schreiben wir nocheinmal ganz allgemein auf: . Falls der Koorinatenursprung nicht direkt in liegt, müssen wir diesen zusätlich von der Koordinate des Schwerpunktes abziehen. Diese Vorraussetzungen setzen wir nun in die Gleichung ein:

Kompakt kann das Ganze mit einer Summe ausgedrückt werden: mit

Summe aller Massen (anzahl ) ()

Summationsindex, welcher in der Summe durchläuft

Orte der Massen

Massen

Durch ersetzen der oberen Grenze durch eine Variable, ist die Gleichung für Massen gültig:

Bei einer Homogenen Masseverteilung wird statt der Summe ein Integral verwendet. Dies wäre z.B bei einem Stab der Fall. Gehen wir davonaus, das der Ursprung unserer Koordinatenachse und der Anfang des Stabes ist und das Ende des Stabes. Dann sieht das Integral wie folgt aus:

mit

Gesamtmasse (z.B. Masse des Stabes)

Dichtefunktion ()

Ort

Eigenschaften

Der Schwerpunkt eines Systems versucht immer in eine energetisch günstige Lage zu kommen. Dies wäre im Gravitationsfeld der Erde z.B. eine möglichst tiefe Lage. Wird ein Körper also nicht in seinem Schwerpunkt sondern daneben stabilisiert, so greift die Schwerkraft den Körper im Schwerpunkt an und der Körper wird solange kippen, bis der Schwerpuntk eine stabile Lage erreicht hat, also keine tiefere Lage mehr möglich ist.

Dies ist in der nebenstehenden Abbildung Dargestellt. Position 1 und 3 haben eine energetisch günstige Lage. Position 2 ist instabil.

Geometrisch

Durch bestimmte Methoden kann der Schwerpunkt von geometrischen Figuren ermittelt werden. Bei einem Kreis beispielsweise ist der geometrische Schwerpunkt genau in der Mitte zu finden. Ermittelt werden kann dieser durch den Schnittpunkt zweier Linien, welche den Kreis halbieren. Bei einem Dreieck wird der geometrische Schwerpunkt ermitteln, indem die Punkte genommen werden, welche die Seiten halbieren. Von ihnen werden jeweils Linien in die gegenüberliegenden Eckpunkte zeichnet.

Bei Homogener Massenverteilung, z.B. einer dreieckigen Platte aus Metall, entspricht die Position des geometrischen Schwerpunktes in der Ebene auch der Position des tatsächlichen Schwerpunktes in der Ebene.

Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers

Der Schwerpunkt eines inhomogenen Körpers ist auf dem ersten Blick nicht so leicht ersichtlich. Seine Position kann jedoch trotzdem durch ein recht einfaches Experiment ermittelt werden. Dabei werden die Schwerlinien ausgenutzt. Wird ein Körper an einem Punkt aufgehängt, so wird er sich im Gravitationsfeld der Erde so ausrichten, dass sein Schwerpunkt auf einer Linie genau unter diesem Aufhängungspunkt befindet. So reichen bei einem dreidimensionalem Körper drei geeignete Schwerlinien aus, um die Lage des Schwerpunktes zu bestimmen.