Drehschwingung -- Gruppe304

Der Versuch wurde durchgeführt von: Tim Achtzehn und Adriaan Richert
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 18 January 2021 15:00

Willkommen zu unserer Wiki-Seite des zweiten Online-Versuches. Hier präsentieren wir Bilder, Tabellen und ähnliches, um den Bericht auszudünnen und zu untermauern.

Die Kreisfrequenz $\omega$ lässt sich aus der Schwingungsdauer T mit $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ berechnen.

Man kann die Drehschwingung als $\phi(t) = \phi_0 cos(\omega t)$ mit $\omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}}$ beschreiben.
Wobei diese Drehung dann mit einem voll in positiver Richtung ausgeschlagenem Objekt (nämlich um $\phi_0$) ohne Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Null startet.

Winkel $\phi$: [ohne Einheit als radialer Winkel]
Trägheitsmoment I bzw. J: [$kg*m^2$]
Drehmoment D: [$\frac{kg * m^2}{s^2}$]
Winkelrichtgröße $D_R$: [$\frac{kg * m^2}{s^2}$]

Wenn man sich nun die Bewegungsgleichung $I \ddot{\phi} = - D_R \phi$ anschaut und den Ansatz $\phi(t) = \phi_0 cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t)$ einsetzt, merkt man,
$- I \phi_0 \frac{D_R}{I} cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t) = - D_R \phi_0 cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t)$
$- \phi_0 D_R cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t) = - D_R \phi_0 cos(\sqrt{\frac{D_R}{I}} t)$
$1 = 1$
dass der Ansatz aufgeht.

Ein Trägheitsmoment lässt sich bestimmen sobald man eine bekannte Kraft hat und die Beschleunigung bestimmen kann. Ein an einem aufgewickelten Faden hängedes und ziehendes Gewicht, dass beim Abwickeln einen Gegenstand mit dreht wäre eine Möglichkeit.
Wir machen dies, indem wir einen Oszillator mit gleichbleibender winkelabhängiger Kraft durch eine Aufhängung an einer Gitarrensaite erzeugen. Durch die Periodendauer und dem Zusammenhang zwischen drahtabhängiger, rücktreibener Kraft und dem Tägheitsmoment des aufgehängten Gegenstandes, lässt sich, bei Kenntniss über einer dieser Werte der andere bestimmen.
Nimmt man also einen Gegenstand mit bekanntem Trägheitsmoment und misst seine Periodendauer, kann man die Rücktreibende Kraft des Drahtes berechnen und mit ihm das Trägheitsmoment beliebig aufhängbarer Gegenstände bestimmen.

Die beim Beschleunigen geleistete Arbeit eines rotierenden Körpers wird mit $W_{Beschleunigung} = \frac{1}{2} J\cdot \dot{\phi}^2$ berechnet. Diesen Zusammenhang nutzen wir, um die Bewegungsgleichung herzuleiten:

$$\begin{alignat}{3} & \quad \quad \quad D \cdot d\phi &&= dW \quad &&&|W_{Beschleunigung} = \frac{1}{2} J\cdot \dot{\phi}^2 \\ &\iff D \cdot d\phi &&= \frac{1}{2} J d\dot{\phi}^2 \quad &&&|\cdot \frac{1}{dt} \\ &\iff D \cdot d\dot{\phi} &&= \frac{1}{2} J \frac{d\dot{\phi} \cdot \dot{\phi}}{dt} \\ &\iff D \cdot d\dot{\phi} &&= \frac{1}{2} J \frac{d\dot{\phi}}{dt} \cdot \dot{\phi} + \frac{d\dot{\phi}}{dt} \cdot \dot{\phi} \\ &\iff D \cdot d\dot{\phi} &&= \frac{J \cdot \not{2} \cdot \ddot{\phi} \cdot \dot{\phi}}{ \not{2}} \quad &&&|:\dot{\phi}\\ &\iff D &&= J \ddot{\phi} \quad &&&| D = -D_r \cdot \phi \\ &\iff J\ddot{\phi} &&= -D_r \cdot \phi \end{alignat}$$

Diese Bewegungsgleichung wird durch die harmonische Schwingung $\phi(t) = \phi_0 \cos(\omega \cdot t)$ gelöst. Unsere Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt $t=0$ sind dabei die Auslenkung $\phi(0) = \phi_0 \cos(0)= \phi_0 \cdot 1 = \phi_0$ und die Geschwindigkeit von $\dot{\phi(0)} = \omega \cdot \phi_0 \sin(0)= \omega \cdot \phi_0 \cdot 0 = 0$.

Der Steinersche Satz ist in diesem Versuch ganz hilfreich. Er besagt, dass man ein Trägheitsmoment I, wenn man es von seiner alten Drehachse um den Abstand d entfernt mit $I_{neu} = I_{alt} + m * d^2$ berechnen kann. m ist dabei die Masse des Gegenstandes des Trägheitsmoments. Für seinen Beweis benötigt man lediglich die Formel $I = m * d^2$, die man dann über ein Volumen integrieren kann und den Satz des Pythagoras

Hier war die Aufgabe mit Hilfe eines Drehpendels das Torsionsmodul einer Gitarrensaite zu ermitteln. Hier bereiteten sich zunächst große Schwierigkeiten auf, den Versuch überhaupt aufzubauen. Nach zwei zerstörten Gitarrensaiten und mindestens sechs Nervenzusammenbrüchen haben wir dann ein Gestell auf dem Dachboden gefunden, was sich gut zum Aufhängen eignete. Beim fixieren des Stabes war zu beachten, nicht allzu viel Druck anzuwenden, da man sonst die ganze Saite verbiegt.

Hier einmal der Aufbau gesamt betrachtet
Die Gitarrensaite wurde so gut es geht um den Stab gewickelt und mit einem Stück Plastik fixiert
Die Saite wurde durch das Gestell geführt…
… und anschließend mit einer Klemme fixiert

BeiThomann findet man für die Regular-B Seiten einen Durchmesser von $\SI{0,013}{Zoll}$, was $\SI{0,3302}{\mm}$ entspricht
selbst nachgemessen: 9 Saiten nebeneinander gelegt füllen 3mm aus