Wird der Draht mit der Drehscheibe um den Winkel $\varphi$ aus der Ruhelage ausgelenkt, so wirkt ein rücktreibendes Drehmoment D: \begin{align*} D &= -D_R \varphi \label{form:drehmoment} \end{align*} Die Lösung der Bewegungsgleichung dieses Systems \begin{align*} I \ddot{\varphi} &= -D_R \varphi \label{form:dgl} \end{align*} ist die harmonische Schwingung \begin{align*} \varphi(t)&=\varphi \cos{\omega t}; & \omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}} \label{form:dgl-loesung} \end{align*} ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Mit $\omega = \frac{2\pi}{T} \Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega}$ folgt für die Periodendauer T: \begin{align} T &= \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{D_R}} \label{form:periodendauer} \end{align} Die Winkelrichtgröße $D_R$ hängt von dem Material des Drahtes und seinen Abmessungen ab: Je härter das Material, je größer der Drahtradius, je kürzer der Draht, desto größer ist das rücktreibende Moment. Die Elastizitätstheorie (s. z. B. Gerthsen, Kap. 3.4) liefert: \begin{align} D_R &= \frac{\pi}{2} \frac{G \cdot r^4}{L} \label{form:berechnung-drehmoment} \end{align} Da der Radius mit der vierten Potenz einfließt, haben schon kleine Veränderungen von $r$ eine große Auswirkung. Zur Veranschaulichung eine Beispielrechnung: Seien $L=0,1m$ und $G=100GPa$. Seien $r_1 = 0,01m$ und $r_2=0,02m$. Dann folgt für $D_{R1}=\frac{\pi}{2} \frac{100 GPa \cdot 0,01m^4}{0,1m}= 1,6 \cdot 10^4 N\cdot m$ und $D_{R2}=\frac{\pi}{2} \frac{100 GPa \cdot 0,02m^4}{0,1m}= 2,5 \cdot 10^5 N\cdot m$.

Um die Lösung 3 zu erhalten, müssen die Anfangsbedingungen $\varphi(0)=\varphi_0$ und $\dot{\varphi}(0)=0$ angenommen werden.

$D$ hat die Einheit $N\cdot m$, da es sich um ein Drehmoment handelt.
$D_R$ hat nach oben die Einheit $\frac{N\cdot m}{rad}$.
Das Trägheitsmoment $I$ hat die Einheit $kg \cdot m^2$.
$\varphi$ hat die Einheit $rad$.

Setzt man Gleichung 3 in Gleichung 2 ein, erhält man: \begin{align*} - I\omega^2\varphi_0 cos(\omega t)&=-D_R\varphi_o cos(\omega t) && | : - \varphi_o cos(\omega t)\\ \Rightarrow I \omega^2&= D_R \\ \Rightarrow \omega^2 &= \frac{D_R}{I}\\ \Rightarrow \omega& = \sqrt{\frac{D_R}{I}} \end{align*}

Die Arbeit, die man bei einer Drehung um $d\varphi$ verrichten muss, lässt sich analog zum Fall einer gradlinigen Bewegung durch $dW=D\cdot d\varphi$ berechnen. Zudem erhält man die Rotationsenergie aus $E_{rot}= \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} I \dot{\varphi}^2$. Die Änderung der Rotationsenergie entspricht der Änderung der Arbeit. Leitet man also die beiden Formeln ab und setzt diese gleich, bekommt man:
\begin{align} D \dot{\varphi}&=I \dot{\varphi} \ddot{\varphi}\\ \Rightarrow D&=I \ddot{\varphi} \end{align} Setzt man nun die $D=-D_R \varphi$ ein, erhält man die gesuchte Formel.

Der Steinersche Satz lautet: \begin{align*} I_B=I_S+a^2M \end{align*} Um den Satz zu beweisen, benötigt man $I_B=\int_V r^2\,\mathrm{d}m=\int_V (r_{mS}+a)^2\,\mathrm{d}m=\int_V r^2_{mS}\,\mathrm{d}m+2a\cdot \int_V r_{mS}\,\mathrm{d}m+a^2\int_V \,\mathrm{d}m,\ \int_V r_{mS}\,\mathrm{d}m=r_{sM}M=0$. Bei den im Nachfolgenden durchgeführten Experimenten muss dieser nicht berücksichtigt werden, weil die Rotationsachsen gleich den Hauptträgheitsachsen sind.

In diesem Abschnitt wird die Messung durchgeführt, mit deren Werten im Bericht das Torsionsmodul des Drahtes berechnet wird. Dazu habe ich die dickere Saite genutzt. Zunächst habe ich mittels einer Schieblehre den Radius als (0,20 $\pm$ 0,05)mm bestimmt.

In der folgenden Tabelle sind die Messwerte aufgeführt: