Der Versuch wurde durchgeführt von: Alexander Steding und Viktor Lau
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 2 January 12021 11:36

Auf dieser Wiki Seite werden Messwerte, Versuchsdurchführungen und theoretische Überlegungen zum Versuch Drehschwingung multimedial dokumentiert.

Der Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz und Schwingungsdauer lautet allgemein: $$\begin{equation} T=\frac{2\cdot \pi}{\omega} \end{equation}$$ Im Fall der Drehschwingung mit $\omega = \sqrt{\frac{D_{r}}{I}}$

$$\begin{equation} T=\frac{2\cdot \pi}{\sqrt{\frac{D_{r}}{I}}} \end{equation}$$

$$\begin{equation} T=2\cdot \pi\cdot\sqrt{\frac{I}{D_{r}}} \end{equation}$$

Um die die Lösung der Bewegungsgleichung $$\begin{equation} \phi(t)=\phi_{0}\cdot cos(\omega \cdot t) \end{equation}$$ Zu erhalten wird die allgemeine Lösung der Schwingunggleichung $$\begin{equation} \phi(t)=A\cdot sin(\omega\cdot t)+B\cdot cos(\omega\cdot t) \end{equation}$$ verwendet. Zum Zeitpunkt $t=0$ ist $\phi(t=0)=\phi_{0}$ und die Schwinngungsgleichung $$\begin{equation} \phi(t=0)=A\cdot sin(\omega\cdot 0)+B\cdot cos(\omega \cdot 0) \end{equation}$$ $$\begin{equation} \phi_{0}=B \end{equation}$$ Man erhällt so: $$\begin{equation} \phi(t)=A\cdot sin(\omega\cdot t)+\phi_{0}\cdot cos(\omega \cdot t) \end{equation}$$ Durch bilden der zeitlichen Ableitung: $$\begin{equation} \frac{d\phi(t)}{dt}=A\omega\cdot cos(\omega\cdot t)+\phi_{0}\omega\cdot (-sin(\omega\cdot t)) \end{equation}$$ Zum Zeitpunkt $t=0$ ist $\frac{d\phi(t=0)}{dt}=0$ und die Ableitung der Schwingungsgleichung: $$\begin{equation} \frac{d\phi(t=0)}{dt}=A\omega\cdot cos(\omega\cdot 0)+\phi_{0}\omega\cdot (-sin(\omega \cdot 0)) \end{equation}$$ $$\begin{equation} 0=A\omega \end{equation}$$ Da $\omega >0$ gilt dementsprechend $A=0$. und für die Schwingungsgleichung: $$\begin{equation} \phi(t)=\phi_{0}\cdot cos(\omega \cdot t) \end{equation}$$ Die 2fache Zeitliche Ableitung ist enstprechend: $$\begin{equation} \frac{d^2\phi(t)}{dt^2}=\phi_{0}\omega^2\cdot (-cos(\omega \cdot t)) \end{equation}$$

Die Anfangsbedingungen sind folglich $\phi(t=0)=\phi_{0}$ und $\frac{d\phi(t=0)}{dt}=0$.

Das Drehmoment wird in Nm (in SI-Einheiten $\frac{kgm^2}{s^2}$) gemessen.
Der Winkel $\phi$ wird in Radianten (rad) gemessen.
Die Winkelrichtgröße $D_R$ kann durch $-\frac{D}{\phi}$ ausgedrückt werden und hat demensprechend die Einheit $\frac{Nm}{rad}$.
Das Trägheitsmoment I hat die Einheit $kgm^2$ und kann gemessen oder mit dem Steinerschen Satz berechnet werden.

Es gilt $$\begin{equation} \phi(t)=\phi_{0}\cdot cos(\omega \cdot t) \end{equation}$$ Die 2fache Zeitliche Ableitung ist enstprechend: $$\begin{equation} \frac{d^2\phi(t)}{dt^2}=\phi_{0}\omega^2\cdot (-cos(\omega \cdot t)) \end{equation}$$ Einsetzen von $\phi(t)$ und $\frac{d^2\phi(t)}{dt^2}$ in $I\cdot \frac{d^2\phi(t)}{dt^2} = -D_{R}\cdot \phi(t)$ liefert: $$\begin{equation} -I\cdot \phi_{0}\cdot \omega^2\cdot cos(\omega \cdot t)= -D_{R}\cdot \phi_{0} \cdot cos(\omega\cdot t) \end{equation}$$ Dividieren durch $cos(\phi_{0}\cdot\omega \cdot t)$ auf beiden Seiten liefert: $$\begin{equation} -I\cdot \omega^2= -D_{R} \end{equation}$$ Umstellen nach $\omega$ liefert: $$\begin{equation} \omega= \sqrt{\frac{D_{R}}{I}} \end{equation}$$

Das Drehmoment kann experimentell über den Drehimpuls bestimmt werden. Es gilt der Zusammenhang: $$\begin{equation} D=\frac{dL}{dt} \end{equation}$$ Das Drehmoment ist also die zeitliche Änderung des Drehimpulses. Der Drehimpuls wiedrum ist definiert als das Produkt zwischen Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit.: $$\begin{equation} L=I\cdot \omega \end{equation}$$ Die Winkelgeschwindigkeit kann über die Schwingungsdauer berechnet werden. Ist das Trägheitsmoment eines Körpers bekannt kann also das Drehmoment durch Messen der Schwingungsdauer experimentell bestimmt werden. Eine möglichkeit wäre das Anbringen von Magneten an einen Schwingenden Körper, welche bei maximaler Auslenkung an einer Spule eine Spannung induzieren würden.

Die Arbeit wird bei Drehbewegungen folgendermaßen beschrieben: $$\begin{equation} W_{rot}=D\cdot \phi \end{equation}$$ Demensprechend ist die Änderung der Arbeit: $$\begin{equation} \frac{dW_{rot}}{dt}=D\cdot \frac{d\phi}{dt}=D\cdot \omega \end{equation}$$ Die Bewegungsenergie wird bei Kreisbewegungen in Translations- und Rotationsenergie aufgespalten. Erstere kommt bei gleitenden Bewegungen vor und entspricht der bekannten kinetischen Energie. Letztere kommt bei rollenden Bewegunden zum Tragen und lautet: $$\begin{equation} E_{rot}=\frac{1}{2}I\omega^2 \end{equation}$$ Die Änderung der Rotationsenergie entspricht: $$\begin{equation} E_{rot}=\frac{1}{2}I\alpha^2 \end{equation}$$ wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung darstellt. Außerdem wissen wir bereits, dass gilt: $$\begin{equation} \frac{dL}{dt}=D \end{equation}$$ Schreiben wir den Drehimpuls aus, erhalten wir: $$\begin{equation} I\frac{d\omega}{dt}=D \end{equation}$$ Aus Gleichung 1 wissen wir zudem: $$\begin{equation} D=-D_R\phi \end{equation}$$ Setzen wir beide Terme gleich und berücksichtigen, dass $\omega$ die Ableitung von $\phi$ ist, erhalten wir die gesuchte Gleichung: $$\begin{equation} I\frac{d^2\phi}{dt^2}=-D_R\phi \end{equation}$$

Der Steinersche Satz sagt aus, wie sich das Trägheitsmoment eines Körpers der Masse M im Abstand d von seiner Hauptträgheitsachse ändert. Mathematisch ausgedrückt lautet er: $$\begin{equation} I_p=I_s+Md^2 \end{equation}$$ wobei $I_p$ das Trägheitsmoment bei der parallel verschobenen Trägheitsachse und $I_s$ das Trägheitsmoment der Hauptträgheitsachse ist. Die Hauptaussage des Satzes ist, dass sich das Trägheitsmoment bei Entfernung von der Hauptträgheitsachse quadratisch zum Abstand von ihr ändert. Der Beweis des Steinerschen Satzes kann experimentell mithilfe eines Drehscheiben-Torsionspendels erbracht werden.

Für den Versuch wurde mit einer Garderobenaufhängung sowie einigen Büchern über einem Tisch eine Aufhängung für die Drehschwingung konstruiert.

An einer der mittleren Halterungen wurde die Gitarrenseite befestigt um eine freie Drehung zu ermöglichen. Für die meisten Messungen wurde ein zylinderförmiger Massagerolle aus Polyethylen verwendet.

Diese besitzt die Maße $$\begin{equation} l_{rolle}=0,3000m \pm 0,0005m \end{equation}$$

$$\begin{equation} d_{rolle}=0,0580m \pm 0,0005m \end{equation}$$ $$\begin{equation} r_{rolle}=0,0290m \pm 0,0005m \end{equation}$$

Als Unsicherheit wurden jeweils 50% der kleinsten messbaren Größe angenommen, also 0,5 mm bei 1mm messbarer Größe. Die Rolle besitzt die Masse $$\begin{equation} m_{rolle}=0,0320kg \pm 0,0005kg \end{equation}$$ Bei der Masse war die kleinste messbare größe 1g, damit erhält man die Unsicherheit 0,5g.

Da anders als bei dem Versuch “Kippender Besenstiel” nicht mit einer akustischen Stoppuhr gemessen wurde, muss die Reaktionszeit als möglicher Fehler mit betrachtet werden. Um die Schrecksekunde zu ermitteln wurde mit einer Stoppuhr probiert exakt 5s zu messen. Die mittlere Abweichungen vom Idealwert(5s) gibt dann die Schrecksekunde an. Im Bereich Messwerte, wurden die gemessenen Werte der Schrecksunde dargestellt. Man erhält für die Schrecksekunde:

$$\begin{equation} t_{Schreck}= 0,28s\pm 0,06s \end{equation}$$

In diesem Versuch soll das Torsionsmodul des Drahtes bestimmt werden. Dazu wurde zunächst die Schwingungsdauer T bestimmt in dem mit einer Stoppuhr die Zeit für das jeweilige Hin und Herschwingen gemessen wurde. Es wurden jeweils 4 mal die Zeit für 5 Schwingungen gemessen und daraus die einzelne Schwingugnsdauer bestimmt. Als Reaktionszeit wurde $0,28 S\pm 0,06s$ angenommen(s. Schrecksekunde) Das folgende Video veranschaulicht den Versuchsablauf:

Da nun das Torsionsmodul bekannt ist, kann das Trägheitsmoment über die gemessenen Schwingungsdauern berechnet werden. Dazu wird der Versuchsablauf aus Versuch 1 mit verschiedenen Formen wiederholt.

Für diesen Versuch wurde zunächst eine Thermoskanne gewählt. Diese entspricht näherungsweise einem Hohlzylinder, hat aber einige zusätzliche Rundungen und ist daher geometrisch nicht ganz einfach zu beschreiben.

Die Thermoskanne besitzt die Masse $$\begin{equation} m_{thermoskanne}=0,2740kg \pm 0,0005kg \end{equation}$$ Als weitere Form wurde der Kopf eines Pürierstabes betrachtet. Dieser gleicht in seiner grundlegenden Symmetrie ungefähr einer Hantel. Auch hier wurde analog zum Versuch 1 gemessen.

Der Pürierstab besitzt die Masse $$\begin{equation} m_{Pürierstab}=0,1540kg \pm 0,0005kg \end{equation}$$

Gefüllte “Christbaum”-Kugeln hatten wir leider nicht. Stattdessen haben wir die Thermoskanne erneut verwendet, diesmal jedoch ein klein wenig Wasser hinein gefüllt. Die gedämpfte Schwingung ist gut zu beobachten: