Der Versuch wurde durchgeführt von: Jan Schimansky und Davin Höllmann
Die Wiki-Seite wurde angelegt am: 17 December 2020 21:09

Im folgenden Versuch wird die Kippbewegung eines Besenstiels und die damit verbundene Physik untersucht. Der Versuch ist in zwei Teile aufgeteilt. Zum einen wird im Home-Lab eine Messreihe von zwei kippenden Besenstielen aufgenommen. Untersucht werden verschiedene Startwinkel unter zwei verschiedenen Stablängen $l$ um die Kippzeit $T$ zu variieren. Zusätzlich wird ein kurzes Computerprogramm in Mathematica geschrieben, welches mithilfe des Zeitschrittverfahrens eine numerische Lösung für die Winkelbeschleunigung des Besens ausgibt.

Im Wiki werden die Vorüberlegungen, der Versuchsaufbau sowie der Computercode erklärt. Außerdem werden hier die Versuchswerte dokumentiert. Der Versuchsebricht deckt dann die Auswertung und Erklärung des beobachteten ab.

Diese Seite und ihre Unterseiten sind Ihr Bereich im APwiki für die Bearbeitung des Heim-Versuchs “Kippender Besenstiel”. Er soll die Funktion übernehmen, die im Präsenzpraktikum das Heft hat. Das heißt, es ist Ihre Logbuch für das, was Sie konkret experimentell und bei der Programmierung durchführen.

Legen Sie Fotos ab, notieren Sie Messwerte, laden sie ihr Programm hoch. Form und Formatierung sind dabei zweitrangig.

Damit dieser Bereich diese Aufgabe erfüllen kann, haben wir ihn mit speziellen Zugriffsrechten ausgestattet:

1. Ihre Gruppe hat das exklusive Schreibrecht für diese Seite.
2. Die Seite ist nur für Ihre Gruppe, die Tutoren und die Praktikumsleitung einsehbar.

Unten auf dieser Seite finden Sie einen Abschnitt “Diskussion”. Über diesen Abschnitt findet die Kommunikation mit Ihrem Tutor statt. Sie oder er wird Ihnen dort Rückmeldung zu Ihrem Versuchsbericht geben.

Hier im Wiki gibt es Hinweise für die Formatierung ihres Versuchsberichts mit Latex. Den Versuchsbericht geben Sie dann im Ilias ab.

Der Schwerpunkt des Stabes liegt in der Stabmitte wenn man annimmt

Analog zum freien Fall spielt bei der Kippbewegung die Masse des Besenstiels keine Rolle da unabhängig von ihrer Masse dieselbe Beschleunigung g auf sie wirkt. Neben der Gewichtskraft ist nach dem zweiten Newtonschen Gesetz die Beschleunigung proportional zur einwirkenden Kraft. \begin{align} F&=m\cdot a , F_G=m\cdot g\\ a&=\frac{F}{m}=\frac{F_G}{m}=\frac{m\cdot g}{m}=g\\ a&=g \end{align} Bei der Kippbewegung erfahren alle Stäbe der gleichen Form - unabhängig von ihrer Masse - dieselbe Beschleunigung g.

Mit steigender Stablänge steigt die jeweilige Fallzeit. Also je länger der Stab desto länger die Fallzeit und analog umso kürzer der Stab umso kürzer die Fallzeit.

Um den Stab gut Jonglieren zu können sollte die Zeit die man hat zwischen der Stab kibt zur einer Seite weg und der aus balancierenden Bewegung so lang wie möglich sein, heißt die Fallzeit sollte so hoch wie möchlich sein, da mit steigender Stablänge sich die Fallzeit erhöht. Es folgt also es ist umso leichter einen Stab zu balancieren je länger er ist.

Dokumentieren Sie hier im Wiki das Programm, das Sie für die Lösung der Bewegungsgleichung des Besenstiels geschrieben haben. Dafür eignet sich dafür besonders gut die Umgebung <code>. Wenn Sie dieser Umgebung mitteilen, in welcher Sprache das Programm geschrieben wurde wird die Syntax automatisch farbig hervorgehoben. (Dokumentation dazu) Die Liste der Programmiersprachen in der deutschsprachigen Dokumentation ist bei weitem nicht vollständig. Siehe die englische Variante

Außerdem ist es möglich einen Link zum Download des präsentierten Programm-Codes anzuzeigen. Dazu geben Sie in dem einleitenden code-Tag einen Dateinamen an. Der Download bezieht sich unmittelbar auf das Im Editor eingetragene Programmstück. Ein getrennter Upload ist nicht nötig.

Das Zeitschritt- bzw. Euler-Verfahren ist das älteste und einfachste Verfahren um eine Differentialgleichung numerisch zu lösen. Allgemein hat man eine Differentialgleichung welche die Steigung bzw. Beschleunigung eines Punktes beschreibt gegeben. Hat man einen Anfangswert gegeben, so kann man nun auch einen zweiten Wert ermitteln und daraus einen weiteren ermitteln. In unserem Beispiel ist also $\ddot{\varphi}$ abhängig von $\varphi$. $\varphi_0$ und $\dot{\varphi}_0$ sind zum Zeitpunkt 0 bekannt, womit auch $\ddot{\varphi}(0)$ bekannt ist. Wenn wir jetzt den Ort der Stabspitze nach einem Zeitschritt $\Delta t$ nach dem Zeitpunkt $t=0$ wissen wollen, so können wir diesen über die Anfangswerte bestimmen. Es wird angenähert, dass sich im Zeitraum $\Delta t$ die Beschleunigung $\ddot{\varphi}$ sich wie zum Startzeitpunkt verhält. Der Zeitschritt wird mit der vorherigen Beschleunigung multipliziert, um so die neue Geschwindigkeit und somit den neuen Ort zu bestimmen. Beschrieben wird das durch die Formeln: \begin{align} \dot{\varphi}(0+\Delta t)&=\varphi(0)+\Delta t \ddot{\varphi}(0)\\ \varphi(0+\Delta t)&=\varphi(0)+\Delta t \dot{\varphi}(0+\Delta t)\\ \varphi(0+\Delta t)&=\varphi(0)+\Delta t \varphi(0)+\Delta t \ddot{\varphi}(0) \end{align} Zu sehen ist, dass der neue Ort durch bekannte Werte berechnet werden kann. Dadurch kann auch wieder die Beschleunigung der Stabspitze am neuen Ort $\ddot{\varphi}(0+\Delta t)$ berechnet werden. In einer weiteren Iteration kann nun der nächste Punkt berechnet werden.

Das Programm könnte theoretisch die Winkel für immer größer werdende Winkel simulieren. Da unser Fall aber auf den kippenden Besenstiel beschränkt ist, muss ein Endwinkel eingesetzt werden. Unter der Annahme, dass der Versuch auf komplett ebenen Boden durchgeführt wurde, beträgt dieser natürlich $90^\circ$ also etwa 1.5708 Radiant.

Eine Veränderung der Schrittlänge hat direkte Auswirkungen auf den letzten Ausgegebenen Wert und die damit verbundene Genauigkeit der Kippzeit. Da die Whileschleife ab einem Winkel von $\varphi=1,5708$ Radiant stoppt haben größere Schrittweiten zur Folge, dass der letzte berechnete Winkel weiter vom Endwinkel entfernt ist. Die Kippzeit kann dann auch nur eins der Vielfachen der großen Zeitschritte sein. Wählt man jedoch kleinere Zeitschritte so erhält man relativ schnell genauere Kippzeiten.

Besenstiel.nb

g = 9.81;
l = 1.45;
t0 = 0;
\[CurlyPhi]0 = 0.25;
\[CurlyPhi]10 = 0;
stepsize = 0.01;
 
\[CurlyPhi]2[\[CurlyPhi]_] := (3*Sin[\[CurlyPhi]]*g)/(2*l)
 
euler := Module[{ans, t, \[CurlyPhi], \[CurlyPhi]1}, 
       	ans = {{t0, \[CurlyPhi]0}};
  	\[CurlyPhi] = \[CurlyPhi]0;
  	t = t0;
  	\[CurlyPhi]1 = \[CurlyPhi]10;
  	While[	\[CurlyPhi] < 1.5707, 
		\[CurlyPhi]1 = \[CurlyPhi]1 + stepsize*\[CurlyPhi]2[\[CurlyPhi]];
   		\[CurlyPhi] = \[CurlyPhi] + stepsize*\[CurlyPhi]1;
      		t = t + stepsize; 
		ans = Append[ans, {t, \[CurlyPhi]}] ];
	ans]
 
eulerans1 = Drop[euler, -1];
 
grapheuler1 = ListPlot[eulerans1, AxesLabel -> {"t", "\[CurlyPhi]"}, PlotStyle -> {PointSize[0.01]}, GridLines -> Automatic]
 
Last[eulerans1]

Die Beschleunigung der Punktmasse am Stabende lässt sich über den Radius der Kreisbewegung, also die Stablänge und die Winkelbeschleunigung $\ddot{\varphi}$ kurz über der Oberfläche berechnen. Wie im Code oben zu sehen wurde dazu die Winkelbeschleunigung von $90^\circ$ mit der Stablänge multipliziert woraus sich eine Beschleunigung von $14,715\si{\frac{\m}{\s^2}}$ für die Stabspitze mit voller Masse ergibt. Diese ist deutlich höher als die Beschleunigung einer frei fallenden Punktmasse von $g=\SI{9,81}{\frac{\m}{\s^2}}$.

Also veranschaulichung des Problems werden zwei Kreise betrachtet, der eine hat einen geringeren Radius r₁ als der andere r₂. Im Falle des fallenden Besenstieles wird hier nur der ein 1/4 der Kreise betrachtet. Auf den äußeren Kreis bewegt sich nun die Stabspitze und auf den inneren bewegt sich die Punktmasse. nun sind diese beiden Punkte gekoppelt und haben immer den selben Abstand, nämlich r₂-r₁, legt nun der Punkt auf den inneren Kreis eine Strecke s in der Zeit t zurück muss der Punkt auf dem äußeren Kreis in der gleichen Zeit t eine größere Strecke s zurücklegen. Somit muss seine Geschwindigkeit v₂ größer sein als die des anderen (v₂ > v₁). Da v₂ > v₁ gilt, gilt somit a₂ > a₁.

Zu Beginn wird eine flache Fläche gesucht an welcher ein Zollstock zur Höhenmessung angeklebt wird. Zur Messung wird noch ein zweiter Zollstock benötigt welcher für die Messung des Abstandes zwischen Wand und Besenstiel verwendet wird. Nun fehlen noch die Art der Zeitmessung und die beiden Besenstiele, wobei die beiden Stiele folgende Werte haben, h₁=(159,6±0,3)cm und h₂=(133,0±0,3)cm. Für die Zeitmessung wird die akkustische Stopuhr der App Phyphox verwendet, als erstes Signal wird ein Stift verwendet und als Endsignal das auftreffen des Besens auf dem Boden. Um nun einen Winkel fest zulegen wird der x-Achsenabschnitt festgelegt und so der Winkel indirekt festgelegt. Für dieses Vorgehen ist ein Rechterwinkel nötig. Der Abstand von Wand zum Besenstiel wird von logischer Weise vom anfang der Wand bis zum Mittelpunkt des Stabquerschittes gemessen.

Damit nicht immer eine Wasserwaage oder ähnliches benutzt werden musss wird der y-Achsenabsschnitt mittels Satz des Pythagoras berechnet. So kann immer beim Zollstock für die x-Koordinate ein Wert für einen Winkel abgelesen werden und dieser Zollstock muss für einen Rechtenwinkel lediglich auf einer bestimmten höhe des y-Zollstockes anliegen, Siehe Bild. Die Berechnung folgt über trigonometrische Beziehungen und den Satz des Pytagoras. a²=c²-b² φ=arccos(x/h)

Messreihe zur Fallzeit des ersten Besenstieles mit h₁=(159,6±0,3)cm für verschiedene Winkel φ und jeweils fünf Messungen pro Winkel.

Messreihe zur Fallzeit des zweiten Besenstieles mit h₂=(133,0±0,3)cm für verschiedene Winkel φ und jeweils fünf Messungen pro Winkel.

Der Grundaufbau bleibt gleich. Es werden nun Messungen für zwei verschiedene Winkel durchgeführt, einmal werden die beiden Winkel gemessen mit einem kleinen Pappestück welches an dem Besenstiel befestigt wird, siehe Bild, und dann werden diese Messungen wiederholt nur mit einem größeren Pappestück. Als Winkel werden der einfachheit halber und der besseren Möglichkeit eines späteren Vergleiches werden Winkel 1 und Winkel 5 aus der vorherigen Messung verwendet. Als Besenstiel wird Besen 1 aus ebenfalls der obigen Messung verwendet mit h₁=(159,6±0,3)cm. Die Pappoberflächen wurden gemessen mit A_Pappe-1=(0,300±0,003)m² und A_Pappe-2=(0,532±0,004)m².

Messreihe zur Fallzeit des ersten Besenstieles mit h₁=(159,6±0,3)cm unter Einfluss größerer Reibung durch ein Pappestück für zwei verschiedene Winkel φ, zwei verschiedene Pappestücke und jeweils fünf Messungen pro Winkel und Pappe.

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