Harmonische Schwingungen sind umgedämpfte Schwingungen, die sinusförmig unendlich weiter Schwingen

Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0$$

Schwingungsfunktion: $$x(t)=x_\text{0}\cos (\omega t+\varphi)$$

Eigenfrequenz: $$\omega=\sqrt{\frac k m}$$

Gedämpfte Schwingungen stellen reale Schwingungen dar. Ihr Amplitude nimmt exponentiell ab.

Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=0$$

Schwingungsfunktion: $$x(t)=x_\text{0} e^{-\delta t} \cos (\omega t)$$

Eigenfrequenz: $$\omega=\sqrt{\frac {k}{m} -\delta^{2}}$$

Erzwungenen Schwingungen wird der schwingende Oszillatior konstant mit einer Anregungsfrequenz $\omega$ angeregt. Somit schwingt er mit einer konstanten Amplitude

Differentialgleichung: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m} \frac{dx}{dt} +\frac{k}{m}x=\frac {F_a}{m} \cos (\omega_a t - \varphi)$$

Schwingungsfunktion: $$x(t)=x_\text{0} \cos (\omega t - \varphi)$$

Die Eigenfrequenz ist nach einer Einschwingzeit gleich der anregenden Frequenz

$$\omega = \omega_a$$

Als Resonanz beschreibt man das verstärkte Mitschwingen eines Systems, dass in der Lage ist zu schwingen. Dabei ist es wichtig wie groß die anregende Frequenz und die Resonanzfrequenz des Systems ist.

$$x_0=\frac{ \frac{F_a}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+(2\delta \omega_a)^2}}$$

Nähern sich $\omega_0$ und $\omega_a$ immer weiter an, so wird der Nenner minimal und die Amplitude maximal. Im Falle eines umgedämpften Systems ($\delta=0$) wird der Nenner Null und wir erhalten die so genannte Resonatorkatastrophe und das System zerstört sich (Amplitude $x_0=\infty$)

Man bezeichnet zwei Sinus Funktionen als Phasenverschoben, wenn ihre Periodendauer gleich ist, aber der Zeitpunkt ihrer Nulldurchgänge nicht übereinstimmt. Die Periodenlänge muss dabei nicht gleich sein sondern nur ein vielfaches der jeweils anderen.

$$\tan \varphi = \frac{2\delta \omega_a}{\omega_0^2-\omega_a^2}$$