Torsionsschwingungen mit dem Drehpendel - Das Ersatzprotokoll der Gruppe 322

Das Physikpraktikum geht in eine zweite Home-Lab-Runde. Diese Wiki soll dabei unser Protokollheft mit Vorüberlegungen, Messdaten und kurzen Beschreibungen ersetzen. Dabei wurde der Versuch von Kira Bode und Anton Gericke (Gruppennummer: 322) durchgeführt.

Diese Überlegungen dienen einer ersten theoretischen Auseinandersetzung mit dem Thema und sind somit Basis für die anschließende Durchführung und Betrachtung.

\begin{align} \omega&=\frac{2\,\pi}{T}=2\,\pi\,f\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\,\sqrt{\frac{I}{D_{R}}} \end{align}

mit $D_R=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{G\cdot r^4}{L}$ folgt: \begin{align} T&=2\cdot \pi \sqrt{\frac{2\cdot I \cdot L}{\pi \cdot G \cdot r^4}} = \sqrt{\frac{8\cdot I \cdot L \cdot \pi}{G\cdot r^4}}= \frac{2\cdot \pi}{r^2}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot I \cdot L}{\pi \cdot G}}\label{eqn:T} \end{align}

\begin{align} I\cdot \ddot{\varphi}&=-D_R\cdot \varphi \Longleftrightarrow \ddot{\varphi}+\frac{D_R}{I}\cdot \varphi =0 \label{eqn:BWGL2} \end{align}

Zum Lösen der relevanten Bewegungsgleichung wird der trigonometrische Ansatz mit der Konstanten C ausgewählt.

\begin{align} \text{Ansatz:}\, \,\,\,\varphi(t)&=C\cdot cos(\omega\cdot t) \label{eqn:Ansatz} \\ \ddot{\varphi}(t)&=-C\cdot \omega^2 \cdot cos(\omega\cdot t) \end{align}

Dieser wird in die Bewegungsgleichung eingesetzt und somit der Zusammenhang für $\omega$ dargestellt. Zu Beachten ist dabei, dass $\omega$ an dieser Stelle nicht die übliche Winkelgeschwindigkeit der Rotation, sondern die Winkelgeschwindigkeit der Pendelbewegung beschreibt [Mes15, S. 86].

\begin{align} \text{Einsetzen:}\, \,\,\, -C\cdot \omega^2 \cdot cos(\omega\cdot t)+\frac{D_R}{I}\cdot C \cdot cos(\omega\cdot t) &= 0 \Longleftrightarrow \omega=\sqrt{\frac{D_R}{I}} \end{align}

Um die Konstante C zu bestimmen, müssen zudem Anfangsbedingungen gesetzt werden:

\begin{align} \varphi(t=0)&=\varphi_0 \end{align}

Damit folgt durch Einsetzen die gegebenen Bewegungsgleichung.

\begin{align} \varphi(t)&=\varphi_0\cdot cos(\omega\cdot t) \end{align}

\begin{align} \varphi(t)&=\varphi_0 \cdot cos(\omega \cdot t) \label{eqn: phi1}\\ \ddot{\varphi}(t)&= -\varphi_0 \cdot \omega^2 \cdot cos(\omega \cdot t) \label{eqn: phipunktpunkt} \end{align}

Um den gegebenen Zusammenhang für $\omega$ zu beweisen, werden Gleichung $\varphi(t)$ und $\ddot{\varphi}(t)$ in die Bewegungsgleichung eingesetzt.

\begin{align} I\cdot \ddot{\varphi}(t)&=-D_R\cdot \varphi(t) \label{eqn:BWGL}\\ - I\cdot \varphi_0 \cdot \omega^2 \cdot cos(\omega \cdot t) &= -D_R\cdot \varphi_0 \cdot cos(\omega \cdot t) \end{align}

Durch Umformung folgt: \begin{align} \omega^2&= \frac{D_R}{I} \Longleftrightarrow \omega = \sqrt{\frac{D_R}{I}} \end{align}

Der gegebene Zusammenhang kann somit nachgewiesen werden.

Zur Bestimmung des Moments im Allgemeinen werden an dieser Stelle zwei Varianten aufgeführt. Die erste äußert sich durch das Messen der Kraft mit einer Federwaage oder dem Bestimmen der Masse mit anschließender Berechnung der Gewichtskraft. Ist dabei der Abstand r der Masse m zur Aufhängung, also die Länge des Hebelarms bekannt, kann über den Zusammenhang $D=r\cdot F$ der Betrag des Drehmoments berechnet werden. Da allerdings das Drehmoment eine vektorielle Größe ist ($\Vec{D}=\Vec{r}\times \Vec{F}$), müssen bei dieser Betrachtungsweise entweder die Kraft und der Abstand orthogonal zueinander sein oder die resultierende Kraft bzw. Abstand über trigonometrische Beziehungen berechnet werden.

Eine weitere Variante stellt die Bestimmung des Moments über die Pendeldauer T dar, was teils in diesem Versuch Anwendung findet. Ist die Periodendauer messbar, sowie das Trägheitsmoment I, die Länge des Drahtes L und der Radius des Drahtes r bekannt, kann das Schubmodul G anhand von der obenen benannten Formel für die Periodendauer bestimmt und mit folgender Gleichung das Moment bezüglich eines Drehwinkels $\varphi$ festgestellt werden [TMK19, S. 364–365].

\begin{align} D&=\frac{\pi \cdot G \cdot \varphi \cdot r^4}{2\cdot L} \label{eqn:DundG} \end{align}

In einem ersten Schritt wird die Energie der Rotationsbewegung in Analogie zur Translationsbewegung betrachtet.

Mit dieser Auflistung und der folgenden Berechnung kann der Zusammenhang $I\cdot \ddot{\varphi}=-D_R \cdot \varphi$ bewiesen werden:

\begin{align} dW&=dE_{rot}\\ D\cdot d\varphi &= \frac{1}{2}\cdot I\cdot d \dot{\varphi}^2 \,\,\,\,\,\,\,\,|\cdot \frac{1}{dt} \\ D\cdot \frac{d\varphi}{dt}&=\frac{1}{2}\cdot I\cdot \frac{d (\dot{\varphi}^2)}{dt} \\ D\cdot \dot{\varphi}&= \frac{1}{2}\cdot I\cdot 2 \cdot \dot{\varphi} \cdot \frac{d\dot{\varphi}}{dt}\\ D\cdot \dot{\varphi}&= \frac{1}{2}\cdot I\cdot 2 \cdot \dot{\varphi} \cdot \ddot{\varphi}\\ D&=I\cdot \ddot{\varphi} \end{align}

Mit $D=-D_R \cdot \varphi$ folgt:

\begin{align} I\cdot \ddot{\varphi} &= -D_R \cdot \varphi \end{align}

Wenn das Trägheitsmoment $I_S$ eines Körpers der Masse m bezüglich der Achse durch seinen Schwerpunkt bzw. durch eine seiner Hauptträgheitsachsen bekannt ist, kann das Trägheitsmoment $I_B$ bezüglich einer zur dieser parallelen Achse mithilfe des folgenden Zusammenhangs mit dem senkrechten Abstand $r_{\perp}$ der beiden Achsen berechnet werden. Da in diesem Versuch die Aufhängung im Schwerpunkt erfolgt, sodass eine Hauptträgheitsachse entlang der Saite verläuft, hat der Satz für das Experiment wenig Relevanz.

\begin{align} I_B&=I_S+m\cdot r_{\perp}^2 \label{eqn:Steiner} \end{align}

Fig. 1: Darstellung des Versuchsaufbaus

Zur Messung der Periodendauer wurde eine Kleiderstange zu Hilfe genommen, die derart hoch eingestellt wurde, dass das Drehpendel frei schwingen/tordieren konnte. Anschließend wurde das jeweilige Torsionsmaterial (z.B. Gitarrensaite) um diese Stange gewickelt und durch Verdrillung befestigt. An das Ende dieses Material wurde folglich der jeweilige Körper (Stab, Telefon, Schuh) angehängt und die Periodendauer für eine Periode bei einer Anfangsauslenkung $\frac{\pi}{2}$ gemessen. Die Messdaten sind in den folgenden Unterkapitel dargestellt.

Fig. 1: Messung des Gewichts der Stange

Messung der Daten des Stabes:

Messung der Dicke der Gitarrensaiten: Fig. 3: Messung der sechsfachen Drahtdicke der Gitarrensaite

\begin{align} d_{Gitarrensaiten_6}=(0,25\pm 0,1)cm \end{align}

Messung einer Periodendauer:

Messung der Dicke des Gummiseils: Fig. 4: Messung der sechsfachen Drahtdicke des Seils

\begin{align} d_{Gummiseile_6}=(1,2\pm 0,1)cm \end{align}

Messung einer Periodendauer:

Anstatt des Stabes werden in den weiteren zwei Versuchen zwei unterschiedliche Körper verwendet. Als Torsionsmaterial wird abermals die Gitarrensaite verwendet.

Fig. 5: Aufhängung des Körpers Telefon

Fig. 5: Aufhängung des Körpers Schuh